رياضيات-2 // المحاضرة السادسة // الدوال الأسية و اللوغارتمية و المثلثية

[أبان]

السلام عليكم ورحمة الله

لقد تجاوزت هذه المحاضرة فيما سبق نظراً لأنها تتحدث بشكل مستقل عن بعض الدوال الخاصة و رأيت العملية تعتمد على حفظ القوانين .....

ولكن الآن عرفت أنها مقدمة للمحاضرة الحادية عشر والتي تتحدث عن "اشتقاق" الدوال الخاصة و التي هي الدوال الأسية و اللوغارتمية و المثلثية ، لذا وجب أن نشرح هذه المحاضرة قبل أن نذهب للمحاضرة الحادية عشر .


بسم الله
أول شي نتعرف على معنى الدالة (تعريف ويكيبيديا بتصريف) :

هو كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق X (المجال) عنصرا واحدا و واحدا فقط من مجموعة تدعى المستقر Y (المجال المقابل)

و صيغته الرياضية هكذا :
http://upload.wikimedia.org/math/8/d/7/8d71c6a0a8d5e6220d0f5e2dfea775f6.png


ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :



لكل دالة مجموعة (المجال) غالبا ما تدعى X
لكل دالة مجموعة ( المجال المقابل) غالبا ما تدعى Y
لا يمكن لعنصر من مجموعة المجال X ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المجال المقابل Y
يمكن لعنصر من مجموعة المجال المقابل Y أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المجال X



فاذا كان المجال هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل x ، فإن المجال المقابل هو مجموعة القيم الممكنة لقيم دالة f(x)

أما المدى: هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f.

انتهى//

نعود لكلمة علاقة المذكورة في تعريف الدالة ، هذه العلاقة لها أشكال .

فمثلاً لو قلنا أن العلاقة بين X و Y هي أن Y تساوي X ، فكلما زادت قيمة X زادت قيمة Y و العكس و بالعكس .

نعبر عن هذه العلاقة رياضياً بهذ الشكل :

Y = X

لو رسمنا هذه العلاقة على الرسم الديكارتي سينتج لنا مستقيم (قريب من هذا الشكل)

http://gepi.org/Patrick/Math/3e/Fonctions_lineaires_affines/fct_triple.jpg

( تسمى هذه العلاقة بـ "الدالة المتطابقة أو المحايدة" : يرتبط فيها كل عنصر بنفسه ، أو يكون المجال والمجال المقابل هما نفس المجموعة)


و لو قلنا أن العلاقة بين X و Y هي أن Y تساوي تربيع X ، فكلما زادت قيمة X زادت قيمة Y بمربع X .

نعبر عن هذه العلاقة رياضياً بهذ الشكل :

Y = X^2

لو رسمنا هذه العلاقة على الرسم الديكارتي سينتج لنا منحنى (قريب من هذا الشكل)

http://1.bp.blogspot.com/-A_boIJ6wMVQ/T1WwOOSi2VI/AAAAAAAAADE/7jhfmvP13AE/s320/x%255E2.JPG




سبق ناقشنا معادلة الخط المستقيم هنا
http://www.ckfu.org/vb/t507310.html

و بعض الدوال هنا
http://www.ckfu.org/vb/t509622.html#post9729719



و المقصود هو توضيح أن العلاقة بين قيم X و Y تأخذ أشكالاً بحسب طبيعة f



و أنواع هذه العلاقة f كثيرة منها (على ذمة ويكيبيديا) :

الدالة المركبة (اقتران مركب)
والدالة التحليلية (اقتران تحليلي)
والدالة الثابتة (اقتران ثابت)
والدالة المستمرة (اقتران متصل)
والدالة المتناقضة (اقتران متناقض)
والدالة الضمنية (اقتران ضمني)
والدالة الأسية (اقتران أسي)
والدالة الزوجية (اقتران زوجي)
والدالة الصريحة (اقتران صريح)
والدالة المتطابقة (اقتران محايد)
والدالة الفردية (اقتران فردي)
والدالة العكسية (اقتران عكسي)
والدالة الشاملة (اقتران شامل)

و نضيف نحن من رياضيات-2 :
و الدالة المثلثية
و الدالة اللوغارتمية


هذه مقدمة عن الدوال


يتبع بإذن الله و توفيقه ....

[أبان]

أ) الدالة الأسية

هي أي دالة من النوع :

http://upload.wikimedia.org/math/1/4/0/1408a7bb5b3a38343414a4ad6696915e.png

حيث أن a عدد موجب قطعا و يسمى الأساس
و حيث أن x عدد حقيقي و يسمى الأس


إذا كان الأساس a أقل من واحد فالدالة تناقصية
إذا كان الأساس a أكبر من واحد فالدالة تزايدية
إذا كان الأساس a يساوي واحد فالدالة عبارة عن خط مستقيم موازي للمحور x


يكون رسم الدالة بهذا الشكل

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Exp.svg

عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد

تكاد تكون الدالة الأسية أفقية عند القيم السلبية للأس
و تساوي 1 عندما تساوي قيمة الأس x الصفر
ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية للأس



ب) الدالة اللوغاريتمية

// تذكير باللوغاريتم :

فكرة اللوغاريتم هي العملية العكسية للرفع (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B1%D9%81%D8%B9_%28%D8%B1%D9%8A%D8%A7%D8%B6%D9% 8A%D8%A7%D8%AA%29) (رفع رقم لأس) .
على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8 ، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي : http://upload.wikimedia.org/math/2/d/f/2dfbed33bccd1bf7000e3600c86eb414.png

وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي :

لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي :
log2 8 = 3.


الدالة اللوغاريتمية تكتب بهذا الشكل (مع ملاحظة أن اتجاه القراءة يظهر أن الطرفين معكوسين) :
http://upload.wikimedia.org/math/d/b/e/dbeda01b5f087d9874979a45d890e000.pngY هي لوغاريتم X للأساس b و إذا لم يكتب فالأساس 10 .


و للتذكير أيضاً فإن اللوغاريتمات تنقسم إلى نوعين :



لوغريتمات عادية (عشرية) ، تستخدم العدد 10 كأساس ، و علامتها في الآلة الحاسبة log ، و تكتب بهذه الصيغ http://upload.wikimedia.org/math/7/2/4/7241c9bf1857bb48603b6c0238ab876f.png أو http://upload.wikimedia.org/math/f/5/8/f58e19fd5107e499044db63aca9e1538.png أو http://upload.wikimedia.org/math/6/3/6/636228194ba63382ab4c81b3004425ba.png



لوغريتمات طبيعة، بحيث تستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية كأساس و هو ما يسمى بالعدد النيبيري e (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%A7%D9%84%D8%B9%D8%AF%D8%AF_%D8%A7%D9%84%D9%86% D9%8A%D8%A8%D9%8A%D8%B1%D9%8A)، و علامتها في الآلة الحاسبة هي ln ، و يرمز لها أيضاً بـ Log (( عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري))


انتهى التذكير //


الدالة اللوغاريتمية ممكن تأخذ أشكال هكذا :


y = log (x)
y = ln (4x-3)
قوانين اللوغاريتمات (العمليات الجبرية)

إذا كان كل من X , Y , b أعداد حقيقية موجبة ، وكان أساس اللوغاريتم b <> 1 فإن :

1) لوغاريتم ضرب عددين x.y هو حاصل جمع لوغاريتم كل واحد منهما على حدة :

http://upload.wikimedia.org/math/0/e/f/0ef0a0838d7abbb46c04b2a60cb2fb87.png

مثال :
http://upload.wikimedia.org/math/9/e/a/9ea70e7449b056012e1ab7d0a182bfd4.png

حللنا المقدار 243 إلى 9 * 27
ثم استخرجنا لوغاريتم كل واحد منهما على حدة
ثم جمعنا ناتج لوغاريتم كل واحد منها = 5



2 ) لوغاريتم قسمة عددين هو حاصل طرح لوغاريتم كل واحد منها على حدة :

http://upload.wikimedia.org/math/2/a/9/2a9eed4f3604c0d43b111ffb3a718f9a.png

مثال :
http://upload.wikimedia.org/math/7/8/b/78b2a44f28f066ddcce83a2c84067cd6.png



3) لوغاريتم مقدار مرفوع للأس p هو حاصل ضرب هذا الأس في لوغاريتم المقدار بدون أس (يعني نشيل الأس p و نطلعه برا الحسبة و بعدين نضربه بناتج اللوغاريتم) :

http://upload.wikimedia.org/math/b/a/e/bae5cfa28008309b34f05f6536ac9cba.png

مثال :

http://upload.wikimedia.org/math/3/1/7/3176db828c3513294f4afdf410e9e196.png



4) لوغاريتم مقدار مرفوع للأس x و لكن أساس اللوغاريتم مطابق للمقدار ، فإن الناتج هو x

http://upload.wikimedia.org/math/1/7/e/17e60ce98aeb7dfe82d6d0f302768d3b.png



5) لوغاريتم العدد 1 للأساس b هو صفر

http://upload.wikimedia.org/math/1/6/a/16aaa319a3145b3b0188d5047d557272.png

لأن أي عدد مرفوع للأس صفر الناتج هو 1
http://upload.wikimedia.org/math/0/2/5/025fb424a8b6fa6b148479ae589d7d9b.png

تذكر أن اللوغاريتم هو عكس عملية الرفع للقوة (للأس)


6) لوغاريتم العدد b للأساس b هو 1

http://upload.wikimedia.org/math/c/5/2/c52fcafa5ce9974b355a46d0544438de.png

لأن أي عدد مرفوع للأس 1 هو نفس العدد

http://upload.wikimedia.org/math/3/3/4/334215e4c44068cb7f2e3ace9ee0d1b0.png

تذكر أن اللوغاريتم هو عكس عملية الرفع للقوة (للأس)



يتبع بإذن الله .... الدوال المثلثية

[أبان]

ج) الدوال المثلثية


قبل أن نتحدث عن جيب و جتا و sin و cos نلقى نظرة على أصل الموضوع و هو التفسير الهندسي لهذه الدوال المثلثية .

أصل الموضوع هو المثلث قائم الزاوية .

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ar/3/35/TrigonometryTriangle_Arabic.svg


فإذا كان لدينا مثلثين و كلاهما قائم الزاوية (يعني 90 درجة)
فإن كانت هناك زاوية أخرى بين المثلثين متطابقة ، فإن المثلثين متشابهين بالشكل (وليس متساويين بالحجم) .

ينتج عن هذا التشابه أن نسبة أضلاع المثلث متساوية بين المثلثين .


أي أن نسبة الضلع a "والذي يسمى المقابل" على الضلع c "والذي يسمى الوتر" هي نفس النسبة بين المقابل و الوتر في المثلث الآخر .


هل وضحت فكرة نسبة طول المقابل على طول الوتر ؟

إذا قم بعمل حفظ باسم sin :biggrin:


ولو نظرنا إلى نسبة الضلع المجاور "المحاذي" إلى الضلع الوتر فإنها قطعا ستكون نفس النسبة بين المثلثين لأننا افترضنا أن المثلث قائم الزاوية و أن هناك زاوية أخرى متطابقة بين المثلثين .

هل وضحت فكرة نسبة طول المجاور على طول الوتر ؟


إذا قم بعمل حفظ باسم cos :biggrin:



طيب يا حررررررررررررام

باقي نسبة الضلع المقابل على الضلع المجاور ؟

ولا يهمك :

قم بعمل حفظ باسم tan :biggrin:



عرفنا الآن أن جيب sin و جتا cos و ظل tan ما هن إلا نسب لأضلاع المثلث



يتبع بإذن الله ...

[أبو إبراهيم]

مساء الخير أبان افضل يا أبان ان تنقش رياضيات 2 بالمستوى الثاني

وفالك النجاح ان شاء الله

[أبان]

بعد أن عرفنا :

أن sin ما هي إلا نسبة المقابل على الوتر
و أن cos ما هي إلا نسبة المجاور على الوتر
و أن tan ما هي إلا نسبة المقابل على المجاور

و ممكن أن نستنتج أيضاً بالعمليات الجبرية أن tan هي نسبة sin على cos

http://upload.wikimedia.org/math/0/e/5/0e504c85d19558e8df4d9dc0e0bcb3bb.png



و الآن نذكر بعض الخصائص للمثلث قائم الزاوية ، و هي :

أطول أضلاع المثلث القائم يعرف بوتر المثلث القائم (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%88%D8%AA%D8%B1_%D8%A7%D9%84%D9%85%D8%AB%D9%84% D8%AB_%D8%A7%D9%84%D9%82%D8%A7%D8%A6%D9%85)، الوتر يقابل الزاوية القائمة دائماً.
في المثلث ABC القائم في C : مجموع قياس الزاويتين A,B يساوي 90°، أي أن A,B زاويتان متتامتان (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%B2%D8%A7%D9%88%D9%8A%D8%AA%D8%A7%D9%86_%D9%85% D8%AA%D8%AA%D8%A7%D9%85%D8%AA%D8%A7%D9%86).
في المثلث ABC القائم في C : مجموع مربع الضلعين a,b ( المقابل و المجاور ) يساوي مربع الوتر c :

http://upload.wikimedia.org/math/e/f/a/efaa26311781f6e9c04ecd1c6f9f37e9.png



دوال مستنبطة من الدوال الأساسية sin , cos :

sec هي مقلوب cos
csc هي مقلوب sin
cot هي مقلوب tan

http://upload.wikimedia.org/math/8/2/1/82170e617d3eacae343ebbd2ca3c10b0.png




يتبع بإذن الله ...

[أبان]

د) الدوال النسبية (و تسمى الدالة الكسرية (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D8%AF%D8%A7%D9%84%D8%A9_%D9%86%D8%B3%D8%A8%D9%8A% D8%A9))


هي دالة يمكن كتابتها في صورة نسبة بين دالتين كثيرتي الحدود (http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%83%D8%AB%D9%8A%D8%B1%D8%A9_%D8%A7%D9%84%D8%AD% D8%AF%D9%88%D8%AF) .
لا يشترط أن تكون معاملات كثيرتي الحدود و لا قيم الدالة كسورا ولكن يشترط أن لا يكون المقام = صفراً

و تكتب بهذه الصياغة :
http://upload.wikimedia.org/math/2/a/1/2a14cf2d219c881356924cfd3d21ad98.png
حيث Q و P كثيرتا حدود.




هـ) الدوال الصريحة

وهي الدالة التي يكون المتغير المستقل في طرف و المتغير التابع في طرف آخر ،مثل :

y = 4x + 5


و) الدوال الضمنية

وهي الدالة التي يكون فيها المتغير المستقل و التابع في طرف واحد ، مثل :

6x + 7y = 0


ز) الدوال الزوجية

تكون الدالة زوجية إذا تحقق (f(- x)= f(x لكل قيم x


أي أن قيمة (y = f(x لا تتغير عند وضع x - بدلاً من x

** و هذه تصلح إذا كان الأس زوجي حيث أنه سيتخلص من الإشارة السالبة .



ح) الدوال الفردية

تكون الدالة فردية إذا تحقق (f(- x)= -f(x لكل قيم x




و توفيراً لخلايا المخ من الإجهاد :biggrin: ..... خذها من الآخر .... بقلم الدكتور جيكل :

http://im9.gulfup.com/2012-04-20/1334938909341.jpg




يتبع بإذن الله ..... التطبيقات الاقتصادية

[امونه 22]

الله يبيض وجهك يا ابان في الدنيا والاخره

[w3oodi]

الله يعطيك العافيه لولا الله ثم شرحك كان انا لاحد الحين احوس فيه
الله يسعدك ويجزاك خيررر

[جودي_93]

سبحان الله والحمد لله والله اكبر:)

[احمد 232]

الله يوفقنا واياكم

[سعود رويال]

جزاك الله خير ماقصرت