محاضرة الاحصاء التربوي 8-9-10 "

[مَنْالَ]

[F الهاجري]

الله يعطيك العافيـه آختي

بس شوي فيه تعقيد ، الله يعين بس

تسسلم يمنــآك خ ــيتو

لـآ آ آ هنتِ

ع القــوهـ

[مَنْالَ]

المحاضرة العاشرة

عنوان المحاضرة مقاييس التشتت

محتوى المحاضرة :

1- المدى

2- نصف المدى الربيعي.

3- الانحراف المتوسط (متوسط الانحرافات)

مقدمة

في هذه المحاضرة سوف نبدأ بمقاييس التشتت والتي تعطي مع مقاييس النزعة المركزية فكرة أوضح حول البيانات أو القيم التي نتعامل معها. وهي المدى, ونصف المدى الربيعي والانحراف المتوسط وفي المحاضرات القادمة الانحراف المعياري.

تناولنا فيما سبق ما أطلقنا عليه مقاييس النزعة المركزية وأشرنا إلى أنها أساليب إحصائية تستخدم في اختصار التعبير عن البيانات الواردة التي تظهر في شكل مجموعة أرقام تمثل درجات التحصيل الدراسي مثلا أو درجات نسبة القلق أو تظهر في شكل توزيع تكراري , وهذا الاختصار عبر عنه بقيمة واحدة كانت أقرب وأصدق ما يمثل تلك المجموعة قدر الإمكان.

و لا تكفي مقاييس النزعة المركزية وحدها لمعرفة الصفات الإحصائية لوصف الظاهر أو التعبير عن البيانات المعطاة. فقد تكون الدرجات المعطاة متقاربة من حيث القيمة أو متباعدة كبير على الرغم من عدم اختلاف قيمة المتوسط الحسابي الذي نحسبه. فكثيرا من المجموعات الرقمية أو التوزيعات قد تشترك في متوسط واحد , ولكن القيم المكونة لها تختلف اختلافا شاسعا أو تتباعد عن بعضها تباعدا واضحا.

فمثلا: الدرجات 15, صفر , 5 , 10 متوسطها =

والدرجات 26 ,صفر , صفر 4 متوسطها =

و الدرجات 6,7, 7,10 متوسطها =

بمعنى أنه يمكننا أن نحصل على العديد من المجموعات الرقمية ذات المتوسط الحسابي نفسه ويلاحظ أيضا في المثال الأتي

= الدرجات 3,5,4,5 متوسطها

الدرجات 11,3,2,1 ومتوسطها =

إن متوسط كل من المجموعتين السابقتين هو على الرغم من أننا نلاحظ أن درجات المجموعة الأولى متقاربة من بعضها مقارنة بالمجموعة الثانية الأكثر تباعدا في القيم بين درجاتها أو أكثر تشتتا.

ولهذا لا يجب ذكر متوسط حسابي لمجموعة درجات فقط دون التحدث أيضا عن تشتت هذه الدرجات أو تنافرها.

وهناك أساليب إحصائية ( مقاييس ) لحساب تشتت القيم أو تنافرها أو اختلافها بحيث عندما نتحدث عن متوسط مجموعة من الدرجات نتحدث أيضا في نفس الوقت عن تشتتها.

و هذا المقياس الجديد ما هو إلا مقياسا للاختلافات أو للتشتت أو لتناثر الدرجات المعطاة بالنسبة للمتوسط.

وكلما زادت حده اختلاف الدرجات كلما زاد تشتتها و قل تجانسها . وفيما يلي سوف نتعرض لمقاييس التشتت المختلفة بشيء من التفصيل.

أولا: المدى :

هو أبسط المقاييس التي تستخدم للمقارنة بين تشتت مجموعتين أو أكثر على حساب الفرق بين أصغر قيمة وأكبر قيمة في الدرجات أو القيم المعطاة, ونسمي الناتج بالمدى وسوف نرمز له بالرمز ي.

وعلى سبيل المثال, نفرض أن لدينا دخل 10 أسر مقدرة بالريالات في الشهر: 3600, 6000, 3800, 7200, 6800, 8800, 000 30 , 12000 , 35000 , 000 100.

يلاحظ أن أقل راتب هو 3600 ريالا و أعلى راتب 000 100 ريال

إذن المدى لهذه المجوعة من الدخول هو

000 100 – 3600 = 96400 ريالا.

وهذا معناه أن القيم في هذه المجموعة تختلف فيما بينها في حدود 96400 وحدة.

وبمقارنة هذه المجموعة بأخرى كالآتي : 8000 , 10000, 12000, 9000 , 16000 , 14000, 20000, 19000 , 30000, 25000.

نجد أن أصغر قيمة للدخل هي 8000 ريال وأكبر قيمة للدخل هي 30000 ريال.

إذن المدى لهذه المجموعة من الدخول = 30000 – 8000 = 22000 ريال.

ويلاحظ أن الدخول في المجموعة الأولى للأسر أكبر تشتتا من الدخول المجموعة الثانية, بمعنى أن مفردات المجموعة الأولى أشد تناثرا وتنافرا من مفردات المجموعة الثانية , وأن مفردات المجموعة الثانية أكثر تجانسا من مفردات المجموعة الأولى.

ويتميز المدى بسهولة حسابه وبساطته , ويلاحظ انه عند حساب المدى قد أخدنا في الاعتبار قيمتين فقط , هما القيمة الصغرى والقيمة الكبرى ,وقد تكون هاتان القيمتان متطرفتين للغاية , فيكون المدى وساعا جدا لدرجة لا تمثل إطلاقا واقع تشتت القيم المعطاة , كما أننا لم نستعمل في حساب المدى أي قيم أخرى متوسطة بين القيمتين الصغرى و الكبرى , وهذا ما يجعل استعماله محدوداً وتمثيله للمجموعة غير واقعي.

وفي بعض الأحيان يمكن استخدام نصف المدى ( )

عوضا عن المدى المطلق بالطريقة السابقة, ويسهل ذلك الحصول ل على الحدين الأدنى و الأعلى لمجموعة درجات يشترط أن تكون معتدلة التوزيع.

ويتم ذلك بإضافة نصف المدى مرة وطرحه مرة من المتوسط الحسابي.

مثال فيما يلي مجموعة من الأطفال في اختبار النمو الاجتماعي

9,6,5,8,7

نحسب المتوسط الحسابي م = =

نسحب المدى = أكبر درجة – أقل درجة = 9-5 = 4

نسحب نصف المدى = =

ويمكن استخراج الحدين الأدنى و الأعلى كما يلي:

م + = 7 + 2

إذن الحد الأعلى لدرجات المجموعة = 9 , والحد الأدنى لدرجات المجموعة = 5.

ولا يجب أن ننسى أن الشرط الأساسي لتنفيذ ما سبق أن تكون الدرجات المعطاة معتدلة التوزيع , والأمر لا ينطبق على التوزيعات غير المعتدلة . وتأتي النتيجة تقريبية في التوزيعات بسطيه الالتواء.

برب

[مَنْالَ]

بآآآك

مميزات وعيوب المدى:

1- أسهل مقاييس التشتت حسابا وابسطها.

2- يعطي معلومة بسيطة عن تنافر (تباين) الدرجات .

3- لا يعتمد عليه طالما أن مجرد أداء شخص أو دخل أسرة واحدة قد يكون له تأثير كبير على قيمته .

4- لا يصلح علميا للمقارنة عموما لأنه يعتمد فقط على اكبر درجة واصغر درجة.

5- له أهمية في مقارنة التوزيعات التكرارية بشرط أن يكون عدد الدرجات أو المفردات متساويا وعندما تختلف عدد الدرجات تنعدم فائدته.

مثال

درجات مجموعة من طلاب جامعة في اختبار الثقة بالنفس

20,19,15,16,17,18 المطلوب إيجاد نصف المدى الربيعي

الحل: الأمر يتطلب ترتيب قيم الدرجات: 20,19,18,17,16,15

لاحظ رتبة ر1 = = = 1,5وتقرب إلى 2 فتكون قيمة ر1 = 16

كما أن رتبة ر3 = × 3 = 1,5× 3 = 4,5 وتقرب إلى 5 أي ان قيمة ر3 = 19

بما أن المدى الربيعي = =

مثال

طبق باحث اختبار لمادة العلوم على عينة مكونة من 100 طالب بالمرحلة المتوسطة , وجائت البيانات في صورة التوزيع التالي:

والمطلوب حساب نصف المدى الربيعي.

الحل:

علينا أن نكون التكرار المتجمع الصاعد والتكرار المتجمع النازل في جدول كما يلي:

نحدد الآن الفئة الخاصة بالربيعي الأدنى , وذلك بان نوجد اولا رتبة الربيع الادنى في المجموعة = =

ومنها ترى أن فئة الربيعي الأول هي 20 – 29 وهي الفئة التي تقابل التكرار الذي يساوي أو يزيد عن رتبة ر1 التي تكرارها 20 ثم نجد رتبة ر1 في فئته وهي :

رتبة ر1 – التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئتة ر1 (12)

أي: 25 – 12 = 13

وأخيرا نطبق القانون ك

= الحد الأدنى لفئته ر1 + ×ل

= 5ر19 + ×10

= 5ر19 + 5ر6

= 26

راجع حساب الوسيط , أو يمكن إيجاده من العلاقة

الربيع الأدنى = الحد الأدنى الحقيقي لفئة الربيع الأدنى

+ × طول الفئة

ر1 = 5ر19 + × 10

= 5ر19 + × 10

= 5ر19 + 5ر6

= 26

وكذلك بنفس الإجراءات نجد الربيع الأعلى :

رتبة ر3 = × 3

أي :

رتبة الربيع الأعلى = × 3 = 75

وتكرارها هو 13 ثم نجد رتبة ر3 في فئته وهو : رتبة ر3 – التكرار المتجمع الصاعد السابق ر3 أي :

75 – 63 = 12

ثم نطبق العلاقة:

ر3 = الحد الأدنى الحقيقي لفئة ر3 + × طول الفئة

= 5ر49 + × 10

= 5ر49 + 23ر9

= 73ر58

أو مباشر كما في ر1

ر3 = 5ر49 + × 10

إذن الربيع الأعلى ر3

ر3 = 5ر 49 + × 10

= 5ر49 + × 10

= 5ر49 + 23ر9

= 73ر58

بما أن نصف المدى الربيعي =
=

== 37ر16

مميزات وعيوب نصف المدى الربيعي:

1- يمكن حسابه بسهولة عن توافر قيم الرباعيين الأعلى و الأدنى

2- يستخدم في الأحوال التي يكون فيها التوزيع مشتملا على قيم متطرفة .

3- يستخدم في الأحوال التي يكون فيها التوزيع مفتوحا من احد الطرفين أو كليهما.

4- من الصعب معالجته رياضيا والتعرف على خصائصه .

ثلثا : الانحراف المتوسط

حتى الآن لم نصل إلى أسلوب لقياس التشتت يراعي الفروق الموجودة بين جميع القيم في المجموعة الرقمية , فلقد لاحظنا أن المدى وكذا نصف المدى الربيعي السابق كيلهما يعتمدان على قيمتين اثنين فقط , ويمكن أن تكون هاتان القيمتين لا تمثلان باقي المجموعة.

ولذلك فإن الأمر الآن يتطلب أسلوبا أخر يأخذ في الحسبان كل القيم الواردة في المجموعة. وهذا الأسلوب أطلق عليه الانحراف المتوسط ( متوسط الانحرافات).

ويحسب الانحراف المتوسط من قانون على النحو التالي:

الانحراف المتوسط =

حيث س = الدرجة الخام .

م= متوسط الدرجات الخام.

ن=عدد أفراد العينة.

| | = علامة تدل على أخد الناتج دون اعتبار للإشارة ويسمى القيمة المطلقة.

ملاحظة :

علمنا أن نحسب الانحراف المتوسط اعتمادا على قيمة المتوسط (م) , ويمكن حساب ما يمكن أن نطلق عليه الانحراف الوسيط والانحراف المنوالي ولكن المعتاد والشائع الاستخدام وهو ما يعرف بالانحراف المتوسط.

مثال

احسب الانحراف المتوسط للدرجات التالية:

7,3,2,4,5,6,8

المتوسط م = =

بما أن الانحراف المتوسط =

=

مميزات وعيوب الانحراف المتوسط:

1- سهل الفهم والإجراء وغير شائع.

2- مقاييس للتشتت يأخذ في اعتباره جميع القيم.

3- لا يستخدم كمقياس إلا في أحوال نادرة .

4- من الصعب معالجته بطريقة رياضية ومازال يقلق بال الرياضيين.

5- مازال من الصعب التعرف على خصائصه.

كوُنوُ بخيرَ

[مَنْالَ]

+المحاضرةالثامنة
التاسعه
تمارين للتدريبوالمراجعة
عناصر المحاضرة
•مقدمة
•المتوسط
•الوسيط
•المنوال


مقدمة:
في هذه المحاضرة سوف نقوم بمراجعةالنقاط المخصصة في المحاضرات السابقة مع بعض التمرينات والتطبيقات الجديدةللمحاضرات السابقة.
تمارين للتدريب والمراجعة
أوجد المدى و المتوسط الحسابيوالوسيط والمنوال للقيم التالية :
25 , 27 , 18 , 20 , 22 , 21 , 17 , 20 , 15 , 25 .
المدى = 27 – 15 = 12
المتوسط = = 21
الترتيب التصاعدي : 15 , 17 , 18 , 20 , 20 , 21, 22 , 25 , 25 , 27 .

الوسيط - رتبة و1 = = = 5 وقيمته 20

رتبة و2 = + 1 = +1 = 6 وقيمته 21

الوسيطو = = = 20,5

المنوال : هناك منوالين هما 20 , 25
أخذتعلامات 35 طالبا في اختبار الرياضيات ورتبت في جدول تكراري كالتالي :

م= = 40,77 م=
م= 40 + = 40,77 م= أ+

م= س+ × ل

أالوسيط =م= 40 + × 3 = 40,77



الوسيط = = 17,5
17,5 – 10 = 7,5فئته 39- 41 طول الفئةل = 3
38,5 + × 3= 38,5 + 2,25 = 40,75 الوسيط


م = = = 40,77

م = أ + = 40 + = 40,77


م = س + × ل

م = 40 + × 3 = 40,77

الوسيط :

رتبةوعموماً = = = 17,5

فئةوهي = 39 – 41

رتبةوفي فئته = 17,5 - 10 = 7,5

و = 38,5 + × 3

= 38,5 + 2,29 = 40,75 الوسيط


المنوال :

المنوال = مركز الفئة الأكثر تكراراً 39 + 41 =

المنوال = 40
المنوالبطريقة حسابية

38,5 + × 3 = 40,64
مثال
المتوسط الحسابي لطلبة علم النفس الإحصائي (1) في الاختبارالشهري الاول كان 25 وكان عدد الطلاب 45 طالبا , انسحب طالبا درجته 28 فما هوالمتوسط الجديد
الحل:- مجموع جميع القيم = المتوسط × عدد القيم
مجك = م × ن = 25 × 45 = 1125
مجك – درجة الطالب المنسحب = 1125 – 28 = 1097مجموع القيمالجديد

المتوسط الجديد = = 24,93
مثال
72, 65 ,75 , 69, 72, 55, 80 , 72
فماهو المتوسط الجديد للقيم التالية إذا أضفنا 10 درجات لكل درجةم= = 70
من الدرجات التالية:
الحل مجس = 72+65+75+69+72+55+80+72= 560
المتوسط الجديد 70+10=80
ما هو أفضل مقياس من مقاييس النزعةالمركزية للمقارنة بين
مجموعتين من حيثالأداء لنفس المقرر الجواب هو: المتوسط

مثال أعمار طالبا هي

المتوسط في الطريقة الأولى = = 55

المتوسط في الطريقة الثانية = 52 + = 55

المتوسط في الطريقة الثالثة = 52+ ×5
52+3 = 55

[قمة الوضوح]

يعطيك العافيه

[ضمايـ انتـ]

يعطيك العافيه

[سماراء]

يعطيك العافيه بس وربي ماحتسه في هالماده وش السوت