السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
يسعدني تقديم الشرح للمحاضرة الرابعة لمادة الإحصاء ورغم أهمية الدرس إلا أنه في منتهى السهولة المطلوب منكم حالياً حفظ الأربع صفحات الأولى صم مثل أسماءكم وياليت بتركيز بسيط
قيم تتمركز حول البيانات وكل قيمة منها تمثل مجموعة هذه البيانات
راجع الصفحة رقم ( 4 – 5 ) من محتوى المقرر
هو خارج قسمة مجموع القيم على عددها بمعنى
الوسط الحسابي =
يا مجهر ممكن نخلي القانون فوق على شكل رموز عشان يسهل عليناطيب نخليها رموز رياضية
نرمز للمتوسط الحسابي بالرمز = م
نرمز للقيم بالرمز = س
نرمز لمجموع القيم بالرمز = مج س
ونرمز لعدد القيم بالرمز = ن
ويكون المتوسط الحسابي على أساس ذلك م =
طرق حساب المتوسط الحسابي
طرق حساب المتوسط الحسابي
حساب المتوسط من القيم الخام مباشرة
حساب المتوسط من قيم مبوبة ( مصنفة بجدول تكراري )
حساب المتوسط باستخدام وسط فرضي
الطريقة المختصرة
طريقة مراكز الفئات
حساب المتوسط من قيم متكررة
القانونم = أ
القانونم =
القانونم =
أو أو
القانونم = س+ ل
القانون م = أ +
حساب المتوسط باستخدام وسط فرضي /
يفضل أن نستخدمها عندما تكون قيم البيانات كبيرة وقليلة
حساب المتوسط من قيم متكررة /
يفضل أن نستخدمها عندما تكون قيم البيانات كبيرة وكثيرة
طريقة مراكز الفئات
هي التي تستخدم مع أعداد كبيرة من الأفراد والأعداد الكبيرة من معدلات الإنتاج وتقوم أساساً على توزيع القيم في جدول تكراري
الطريقة المختصرة
وهي الطريقة تغنيك عن الوقوع في الأخطاء والتعقيدات إن كانت مراكز الفئات تحتوي على كسور أو كثرة التكرارات
شرح القوانين لكل طريقة
القانون
تعريف الرموز
استخدامه
م =
مج س = مجموع القيم
ن = عدد القيم
عام
م = + أ
مج ح = مجموع الانحرافات
أ = الوسط الفرضي
يطلب منك حساب المتوسط بالقيمة الفرضية
م =
مج س = القيمة
ك = التكرار
إذا كانت القيم المتكررة كثيرة
م = أ +
مج ح = مجموع الانحرافات
طريقة حل القيم المتكررة والكثيرة عن طريق الوسط الفرضي
م =
مج م س = مركز الفئة
ك = التكرار
شفت جدول فئات وفيه تكرارات طلع مركز الفئة وطبق القانون وسلامتكم
م = أ
مج ح = مجموع الانحرافات
ك = التكرار
جدول فئات وفيه تكرارات ويطلب منك الحساب المتوسط بطريقة الانحراف الفرضي
س = مركز الفئة الصفرية
ن = مجموع التكرارات
ل = طول الفئة
يقول لك احسب المتوسط بالطريقة المختصرة
صفات المتوسط الحسابي /
· يجب أن يكون المتوسط معروفاً تعريفاً دقيقاً
· يجب أن يبنى على المشاهدات
· يجب أن يكون من السهل فهمه وتفسيره
· يمكن حسابه بسهولة وسرعة معقولتين
· يجب أن لا يتأثر كثيرا عند اختلاف العينات من مجتمع واحد
يمتاز المتوسط الحسابي بالسهولة والحساب بعدة طرق وتمثيله الجيد للبيانات j
بما أنكم وصلتم معي هنا أحب أبشركم إنكم أغلقتم 77 % من الأشياء المهمة في الوسط الحسابي باقي 20 % فهم و2% أشياء نذكرها أخر كلامنا
الآن لازم تكونون في وضع يسمح بالفهم
وبدل كأس شاي براد j
مثال (1)
أوجد الوسط الحسابي للعلامات الآتية
45, 38 , 42 , 37 , 39 ,38 ,44 , 37 , 46 ,42 ’ 43 ,37 , 43 , 48 , 38
الحل /
بما أنه ما ذكر طريقة معينة هنا حل بأي طريقة تناسبك وطبعا أسهل وأسرع طريقة الطريقة الشائعة
نجمع الأعداد كلها مع بعض ونقسمها على عددها
م =
الوسط الحسابي =
الوسط الحسابي =
الوسط الحسابي = 41.13
وبكذا جبنا الوسط الحسابي وانتهت المسألة . . .
طيب مجهر لو جاب نفس المسألة وقال حلها عن طريق حساب المتوسط باستخدام وسط فرضي
ماعليكم الحين نحلها عن طريق الوسط الافتراضي في المثال الثاني
مثال (2)
أوجد الوسط الحسابي للعلامات الآتية عن طريق وسط افتراضي
45, 38 , 42 , 37 , 39 ,38 ,44 , 37 , 46 ,42 ’ 43 ,37 , 43 , 48 , 38
الحل /
بما أنه حدد لك طريقة استخراج الوسط الحسابي نطبق من خلال قانون الوسط الفرضي القانون م = + أ
نفرض عدد معين من القيم في السؤال وليكن 37 ونطرح من كل عدد هذا العدد الافتراضي لكي نستخرج مجموع الانحرافات ونطبق القانون الخاص . علما أنه بإمكانك اختيار أي قيمة افتراضية وكلها صحيحة .
ح1 = 45 – 37 = 8
ح2 = 38 – 37 = 1
ح3= 42 – 37 = 5
ح4 = 37 – 37 = 0
ح5 = 39 – 37 = 2
ح6 = 38 – 37 = 1
ح7 = 44 – 37 = 7
ح8 = 37 – 37 = 0
ح9 = 46 – 37 = 9
ح10 = 42 – 37 = 5
ح11 = 43 – 37 = 6
ح12 = 37 – 37 = 0
ح13 = 43 – 37 = 6
ح14 = 48 – 37 = 11
ح15 = 38 – 37 = 1
مج ح = 62
م = + 37 = 41.13
وبكذا جبنا الوسط الحسابي بالقيمة الفرضية وانتهت المسألة . . .
ماذا تلاحظون ؟
الناتج كان بالطريقة الأولى والثاني واحد
لأن الطرق اختلفت ولكن الناتج كان واحد ولو تلاحظون المثال الثاني كانت الطريقة مره طويلة لأن الوسط الفرضي ينفع في الأعداد الكبيرة والقليلة j
مجهر بما إن القيم متكررة هل ينفع استخدام طريقة حساب الوسط من قيم متكررة ؟
أكيد ينفع لأن المثال خام والطريقة الثانية كانت حساب الوسط من قيم متكررة >>> راجع الصفحة رقم 2 فوق وتعرف قصدي
يالله نحل المثال مره ثالثة عن طريق حساب المتوسط من قيم متكررة
وفيه طريقتين للحل وفق للصفحة رقم 2
<<< الصفحة رقم 2 والصفحة رقم 3 مهمة
مثال (3)
أوجد الوسط الحسابي للعلامات الآتية عن طريق حساب متوسط من قيم متكررة
45, 38 , 42 , 37 , 39 ,38 ,44 , 37 , 46 ,42 ’ 43 ,37 , 43 , 48 , 38
الحل /
في البداية ماهي أقل علامة وماهي أكبر علامة
أقل علامة = 37 واكبر علامة = 48
عشان أجيب الوسط الحسابي للتوزيع التكراري مجموع حاصل ضرب كل عدد على تكراره تقسيم العدد الكلي القانون م =
نطبق وبعدين نشرح
العدد
التكرار
العدد التكرار
37
3
= 111
38
3
= 114
39
1
= 39
40
صفر
= صفر
41
صفر
= صفر
42
2
= 84
43
2
= 86
44
1
= 44
45
1
= 45
46
1
= 46
47
صفر
= صفر
48
1
= 48
المجموع
15
617
طيب الناتج طلع 617 العدد الكلي
الوسط الحسابي = 617 15 = 41.13
م = 41.13
ماذا تلاحظون ؟
جميع النتائج كانت متساوية ما الفرق إذن !
هنا يبان لك أسهل طريقة وأفضل طريقة وأدق طريقة في حساب البيانات باستخدام الوسط الحسابي رغم أن الناتج كان واحد لأننا لم نخسر البيانات ولكن الصعوبة كانت تختلف في التطبيق فلكل طريقة إيجابيات وسلبيات .
نستطيع أيضاً حل المثال رقم (3) بالقانون الأخر وهو الوسط الفرضي
القانون م = أ +
طيب نكتب الأرقام في جدول ثم نضع التكرارات ومن ثم نوجد الانحراف لكل رقم وذلك بأخذ رقم فرضي وطرحه من كل قيمة ثم ضرب الانحراف في التكرار . . .
ومن ثم التطبيق في القانون
الآن نختار رقم والأمر متروك لكم موجود لديكم في السؤال 15 رقم وبإمكانكم اختيار أي رقم يكون وسط فرضي وأنا اخترت رقم 42 وفي كل الأحوال الناتج بيكون واحد يعني مافي خوف j
يالله نبدأ نطرح من كل قيمة الوسط الفرضي الذي اخترناه ثم نضرب كل انحراف استخرجناه مع التكرار المقابل له ثم نطبق القانون ونجيب الوسط الحسابي
العدد
التكرار
الانحراف عن الوسيط ( ح )
ك ح
37
3
37 – 42 = -5
-15
38
3
38 – 42 = -4
-12
39
1
39 – 42 = -3
-3
40
صفر
40 – 42 = -2
0
41
صفر
41 – 42 = -1
0
42
2
42 – 42 = 0
0
43
2
43 – 42 = 1
2
44
1
44 – 42 = 2
2
45
1
45 – 42 = 3
3
46
1
46 – 42 = 4
4
47
صفر
47 – 42 = 5
0
48
1
48 – 42 = 6
6
المجموع
15
م = أ +
م = 42 +
م = 41.13
الناتج واحد صح j
بما إنكم حافظين القوانين في الصفحة رقم 2 معناه مافي شي يوقفكم إن شاء الله لو تلاحظون باقي الجزئية الثانية في الصفحة رقم 2 ماتكلمنا عنها لكن أبشركم مثل فوق قانون وطبق وبس
* لو وضعنا العلامات في توزيع تكراري ذي فئات مثل ما تعلمنا في المحاضرة الثانية فمن الممكن أن نحصل على إجابة مغايرة *
ملاحظة :
جميع الأمثلة في الأعلى كانت القيم لها خام وليست فئات بمعنى تطبيق باستخدام الطرق الخاصة بالوسط الحسابي ولكن لو كان السؤال عن فئات يعني حد أكبر وحد أصغر لكل قيمة ماذا نفعل ؟
الجواب جداً بسيط
أمامنا طريقتين لا أكثر وجميعها غاية في السهولة وتستطيع معرفتها من خلال متابعة القوانين في الأعلى ( صفحة رقم 2 )
الأولى طريقة مراكز الفئات
وبكل سهولة نجيب مركز الفئة لكل فئة ونضربه في التكرار وجمعهم نقسمه على العدد الكلي وانتهينا j
نأخذ مثال عشان يكون الموضوع للطريقة واضحة
مثال (4)
الجدول التكراري التالي يمثل علامات مجموعة من الطلاب في اختبار الذكاء :
ف
ك
20 - 23
5
24 - 27
2
28 - 31
10
32 - 35
4
36 - 39
15
40 - 43
9
44 - 47
10
دام فيه هذه الفئات مباشرة نأخذ قوانين الجزء الثاني من الصفحة رقم 2 حساب متوسط من قيم مبوبة
الحل /
مباشرة شفت فئات مثل كذا على طول حول الحل للقسم الأيسر من الصفحة رقم 2 نحل بالطريقة الأولى
القانون م =
تمام على طول نجيب مركز الفئات لكل فئة وتعلمنا في المحاضرة رقم 2
كيف نجيبه , الحد الأدنى + الحد الأعلى الكل تقسيم 2
مركز الفئات =
وبعدين نضرب كل مركز فئة في التكرار تقسيم العدد الكلي
ف
ك
مركز الفئة م س
م س ك
20 - 23
5
= 22
22 5 = 110
24 - 27
2
= 26
26 2 = 52
28 - 31
10
= 30
30 10 = 300
32 – 35
4
= 34
34 4 = 136
36 – 39
15
= 38
38 15 = 570
40 – 43
9
= 42
42 9 = 378
44 – 47
10
= 46
46 10 = 460
المجموع
55
2006
يالله الأن نجيب القانون ونطبق
م =
= 36.47
ملاحظين كيف سهلة بس جبنا مركز الفئة وطبقنا بالقانون
الثانية الطريقة المختصرة
يمكن حساب المتوسط بحالتين
الأولى استخدام وسط فرضي مع مراكز الفئات والباقي صار معلوم من الطريقة السابقة :
نطبق على المثال (4)
نجيب مركز الفئات وجبناه فوق الآن نختار وسط افتراضي من مراكز الفئات وأنا اخترت 22 الآن نجيب انحراف بقية المراكز مثل الطريقة السابقة بس عن طريق مركز الفئة بعدين نضرب الانحراف مع التكرارات ونجمع الناتج ونطبق القانون
ف
ك
مركز الفئة م س
ح
ك ح
20 - 23
5
= 22
22 – 22 = صفر
5 0 = 0
24 - 27
2
= 26
26 – 22 = 4
2 4 = 8
28 - 31
10
= 30
30- 22 = 8
10 8 = 80
32 – 35
4
= 34
34 – 22 = 12
4 12 = 48
36 – 39
15
= 38
38 – 22 = 16
15 16 = 240
40 – 43
9
= 42
42 – 22 = 20
9 20 = 180
44 – 47
10
= 46
46 – 22 = 24
10 24 = 240
المجموع
55
84
796
الآن الأمور صارت سهلة قانون ونطبق j
القانونم = أ +
م = 22 +
م = 22 + 14.47
م = 36.47
الثانية الانحراف الفرضي وطريقتها اختيار فئة من الفئات ونجعلها فئة صفرية وما فوقها يكون بالسالب وما أدنى منها يكون موجب وتسمى هذه الأرقام الانحراف الفرضي ورمزه طبعاً ح
تطبيق سريع
25 – 30
31 – 36
37 – 42
نختار فئة صفرية وبراحتكم تقدرون تكون الأولى وتقدرون تخلونها الثانية وتقدرون تخلوها الثالثة
بس لو كانت الأولى معنى ذلك الثانية تكون +1 والثالثة تكون +2
لكن لو اخترت الثانية تكون صفرية معناه فوقها – 1 وتحتها +1 وهكذا
يالله نطبق نفس المثال السابق ونشوف j
والقانون لها القانون م = س+ ل
مثال (5)
الجدول التكراري التالي يمثل علامات مجموعة من الطلاب في اختبار الذكاء :
ف
ك
20 – 23
5
24 – 27
2
28 – 31
10
32 – 35
4
36 – 39
15
40 – 43
9
44 – 47
10
الحل / وفق القانون نحتاج فئة صفرية ونختار مثلاً الثالثة
ف
ك
س
ك ح
20 - 23
5
-2
5 -2 = -10
24 - 27
2
-1
2 -1 = -2
28 - 31
10
صفر > الصفرية
10 0 = 0
32 – 35
4
1
4 1 = 4
36 – 39
15
2
15 2 = 30
40 – 43
9
3
9 3 = 27
44 – 47
10
4
10 4 = 40
المجموع
55
89
يالله نجيب القانون ونطبق j
القانون م = س+ ل
س <<< وقلنا انها مركز الفئة الصفرية طيب الفئة الصفرية
إخترنا الفئة 28 -31 والمركز = = 29.5 = 30
ل <<< طول الفئة وواضح انه رقم 4
م = 30 + 4
م = 30+1.618 4
م =30+6.47
م=36.47
الحل واحد j
الدرس بالمجهر
فيه نوعين للوسط الحسابي نوع يجيلك أرقام خام وهذا نطبق فيه الجزء الأول من الصفحة رقم 2
ونوع يجيكم فئات ونطبق فيه الجزء الثاني من الصفحة رقم 2
لا تقول كيف أفرق بينهم في الشرح الجاي بنزل لكم جميع الطرق للتفريق بينهم ومعها أمثلة كثيرة عشان يكون الدرس تمام
الآن نشرح بعض الأشياء المهمة
· المطلوب منكم حالياً معرفة كل خطوة كيف جاء يعني أبغاكم تطبقون الأمثلة حرفياً بدون العودة لطريقة الحل
· لا تقول ما اعرف صعب حاول واسأل وفكر وركز الدرس مره سهل لكن لا تقول صعب وأنت ماقدمت شي للمادة
· باقي شوي أشياء خفيفة قلت انزلها في شرح المحاضرة القادمة مع عدد كبير من الأمثلة فلا تخافون مره من الدرس
· أبغاكم في ورقة خارجية تكتبون كل حاجة بالتفصيل عن كل مثال حليناه كيف جاء وليه والسبب .
لو فهمت الكلام اللي فوق معناه قفلت المحاضرة الرابعة والخامسة
في النهاية اعتذر عن التأخير والله العالم بما أعانيه حالياً
محبكم دوماً وأبداً
أخوكم / مجهر