chaptrt3

ملاحظة . الـ chapter ذا متقدم على الـ c




Vectors





::: 1 :::



ماهي المتجهات ؟

المتجهات طريقة تمثيل رياضية للكميات الفيزيائة . الهدف منها تسهيل مهمة الفيزيائين



كيف تسهل المهمة ؟



افترض أن عندك مبلغ 4 ريال وتبي تقسمه على أثنين من أخوانك يدوياً

تعطي الأول ريال .. وتعطي الثاني ريال ثم تعطي الأول ريال آخر وتعطي الثاني ريال آخر وبكذا تكون قسمت الـ 4 ريالات بين اخوانك



لكن أفرض لو عندك مبلغ ميلون ريال << ايه هين .. وتبي تقسمه بين اخوانك بنفس الطريقة السابقة .. شئ متعب! .. ويمكن تجلس ثلاث ايام

لكن بالرياضيات تقول أن 1000,000 / 2 = 500,000 .. لكل واحد وفي ثانية وحدة تطلع النتيجه

يعني التمثيلات الرياضية تسهل المهمة للأعمال اليدوية





ماهي اقسام الكيمات الفيزيائة ؟

تنقسم إلى قسمين مثل ماذكر سابقاً

كميات قياسية scalar : يكفي لوصفها معرفة العدد والوحدة .. فقط

كميات متجهه : عشان تعرفها لازم تعرف اضافة لما سبق " العدد والوحدة " الأتجاه ايضاً



أمثله على الكميات المتجهه والكميات الفيزيائة



Q ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــ O



لو فرضنا عندنا نقطتين Q و O والمسافة بينهم 1 متر .. هنا تكون الكمية اللي هي " المسافة كمية قياسية .. لأن مايهم من وين قسنا المسافة من النقطة Q إلى O اول العكس ولكن المهم .. أنك لو بغيت تنتقل من نقطة إلى اخرى .. لازم تقطع مسافة قدرها 1 متر سواء كان بالأتجاه الأمامي .. او بالعكس
المهم هنا هو 1 متر .. وليس 1 متر بأي أتجاه ؟






في هذه الحالة يتغير موضع جسم ما .. من النقطة O وبمسافة 1 متر .. وبإتجاه النقطة Q
وهنا تسمى " الأزاحه " والمهم فيها أنتقال الجسم من نقطة إلى اخرى ولكن ضمن أتجاه محدد
نسمي المتجه بالطريقة ذي أما بسهم فوق المتجه أو بخط فوقه
واحياناً يكون بـ Q بخط سميك ولكن لأن الكتابة تكون بقلم ممكن تكون صعبة


في هذه الحالة لاحظ أن
- لايمكن عكس إتجاه المتجه أي ان المتجه اللي يمثل الأنتقال من O إلى Q
لا يساوي في أي حال من الأحوال المتجه اللي ينتقل من Q بإتجاه O
- يمكن القول بأن المتجه QO يساوي المتجه OQ ولكن بإشارة سالبة في القيمة مع الأختلاف في الأتجاه


**


المتنجه A يساوي في القيمة المتجه A- ولكن عكسه في الأتجاه
**


مما يتكون المتجه ؟



إضافة غلى الراس والذيل .. الأتجاه أو الزاوية


::: 2 :::

نظم الأحداثيات coordinate systems

أولاً نظام الأحداثيات المتعامدة perpendicular

نظام الأحداثيات المتعامدة يكون بمحور سيني x ومحور صادري y ومحور عيني z
متعامدة فيما بينها تتلاقى جميعها في نقطة الأصل (0,0 )



في الصوره تلاحظ أن المتجه V0 يبدا من نقطة الأصل (0, 0) وينتهي في النقطة p0 يسمى النوع هذا متجه الموضع للنقطة p0 إذا متجه الموضع لنقطة ما هو المتجه اللذي يصل بين النقطة وبين نقطة الأصل

متجه الأزاحة من النقطة a إلى النقطة b " كما في الصورة " ويساوي حاصل طرح المتجهين
بمعنى لو رسمت متجه الموضع للنقطة a ورسم متجه الموضع للنقطة b وطرحت المتجهين من بعض راح تحصل على المنتجه الأزرق الغامق في الرسم


أتفقوا الرياضين على أن يكتبون المتنجهات بالصورة هذي
(x, y , z )
(5 , 4 , 6 )
6= x الأول من اليسار
4= y الثاني من اليسار
5= z الثالث من اليسار



ثانياً نظام الأحداثيات القطبية polar coordinate

هنا تعبر عن المتجه بـ طوله و زاويته فقط .. يعني الطول كمية والزاوية أتجاه




نفترض المتجه A وزاويته

كيف تقدر تستخرج Ax و Ay ؟
بمعلومية القيمة A والزاوية

القانون مشهور جداً ولازم تحفظه عشان تستعمله في تحليل القوى ومشكلة الـ 103 في النقطة ذي اللي هي تحليل القوى

Ax = |A| cos
Ay = = |A| sin
|A| = القمية المطلقة لـلمتجه
= زاوية المتجه !


وهذا تحليل الالمتجهات إلى مركبتين X و Y

تقدر تحفظ القانونين .. لأنهم اساس المادة ؟


لنفرض كان عندك Ax و Ay كيف تجيب الـ |A| والزاوية ؟

القانون لـ | A |


القانون لـ

tan = y/x


.../// .. التحويل بين النظامين " المتعامد والقطبي " ... \\\ ..

مثال : عبر عن المتجه الواصل بين نقطة الأصل (0 , 0 ) و النقطة ( 3 , 5 ) من خلال نظام الأحداثيات القطبية ؟

الحل : في نظام الأحداثيات المتعامدة أعطى المتجه لــتكون المركبة Ax هي
Ax= 5 - 0 = 5
والمركبة
Ay= 3-0 = 3

نحدد القيمة من العلاقة
( 25 + 9 ) = 34
إذا قيمة A تساوي الجذر التربيعي لـ 34

ونحدد الأتجاه من خلال القانون
tan = y/x


حاول تعكس المسالة وتوجد المركبتين X و Y بمعرفة A و





ملاحظه مهمة !!
1- إذا كانت المركبتين Ax و Ay موجبتين اي اكبر من الصفر يكون المتجه A في الربع الأول .. وتكون الزاوية موجبة وتمثل الزاوية مع المحور السيني الموجب يعني هي نفس الزاوية

2- إذا كانت Ax سالبة و Ay موجبة .. يكون المتجه A في الربع الثاني .. للحصول على الزاوية مقيسة من المحور السيني يجيب اضافة إلى 180 اي تكون الزاوية هي :
= 180 - ()

3- إذا كانت Ax سالبة , و Ay سالبة ايضاً يكون المتجه A في الربع الثالث وتكون قيمة مقاسة من المحور السيني الموجب هي
= 180 + ( )

4- إذا كانت Ax موحبة و Ay سالبة يكون المتجه في الربع الرابع وتكون قيمة مقاسة من المحور السيني الموجب هي
= 360 - ( )


المتجه بنظام متجهات الوحدة unit vectors

وش تعريف متجه الوحدة ؟
متجه الوحدة : هو متجه يبلغ طوله المطلق وحدة واحدة ويستخدم لوصف إتجاه أو محور محدد
للمحور السيني نستخدم i كـ متجه وحدة
وللمحور الصادي نستخدم j كـ متجه وحدة
وللمحور اليعني نستخدم K كـ متجه وحدة

نفرض عندنا متجه A .. له ثلاث مركبات Ax , Ay , Az .. !
كيف نكتبه بطريقة متجهات الوحدة ؟

A = Axi + Ayj + Azk

وش الفائدة من متجهات الوحدة ؟

صفقوني إن لقيتوا فائدة منها للمهندسين .. بس زيادة منهج

مثال: عبر عن المتجه الممثل بنظام الأحداثيات المتعامدةى بمتجه موضع النقطة ( -3 , 5 ) .,. بمتجهات الوحدة ؟
الحل: A = 5 i - 3 j
وبس عن كثر الكلام

instantaneous velocity
السرعة اللحظية

قلنا قبل شوي أن سرعة الجسم ممكن تغير من ( لحظه ) إلى ( لحظه ) خلال حركته في خط مستقيم
ولو بغينا أن نوجد سرعة الجسم خلال ( لحظه ) معينة . قبل لا يتغير إلى مستوى ثاني
مثلاً لو نقول ان سرعة الجسم عند ( اللحظه ) الفلانيه هي S
هذا يعني أن سرعة الجسم عندما يقتر الوقت من ( اللحظه الفلانيه ) هو S ولكن يمكن في لحظه بعدها تكون السرعة مختلفه

العلاقية بينهم نفس العلاقة السابقة ولكن نوجد السرعة عندما يقترب الزمن من لحظه معينة من خلال التفاضل



::: 3 :::
معادلات الحركة في خط مستقيم

kinematic equation in one dimension:


هنا الخلاصة .. !


هناك ثلاث معادلات رئيسة تعرف بالميكانيكا باسم معادلات الحركة inematic equation

وتشتق المعادلة الأولى مباشرة من تعريف التسارع ، نفرض أن جسما ما يتحرك بسرعة ابتدائية v0 ، وبتسارع a ،

بحيث أصبحت سرعته النهائية v وبعد مرور فترة زمنية مقدارها t ثانية ، بذلك فإنه وفقا لتعريف التسارع a فإنه يكون :




حيث رمزنا للفترة الزمنية التي تسارع خلالها الجسم بالرمز t بدلا من ∆t

ويمكن كتابة العلاقة في الصورة التالية :





v = v0 + a t



وتعرف باسم المعادلة الأولى للحركة ..

وللاشتقاق المعادلة الثانية للحركة ينبغي استرجاع تعريف الإزاحة بدلالة السرعة المتوسطة vav

فإذا كان x1=0 و عبرنا عن الفترة الزمنيه بالرمز t بدلا من ∆t تكون الإزاحة x بدلا من x2 - x1

هي :

x = vav t



وحيث أن سرعة الجسم تتغير بمرو الزمن بسبب تحركه بتسارع منتظمa

فإنه يمكن حساب السرعة المتوسطة بيسر كمتوسط حسابي للسرعة الابتدائية v0 والسرعة النهائية v أي أن :

vav = ( v0 + v ) / 2



وبالتعويض عن قيمة في المعادلة الأولى للحركة واستبدال vav في العلاقة السابقة بقيمتها الجديدة ، فإن :



x = v0 t + ( ½ ) a t2



وتعرف هذه المعادلة بالمعادلة الثانية للحركة .



وتجدر الإشارة إلى أنه إذا لم تكن إحداثيات الجسم عند اللحظة الابتدائية t1 مساوية للصفر ( أي إذا لم تكن x1 = 0 )

فإنه ينبغي جمع الإزاحة في لحظة الصفر x0 إلى الإزاحة المحسوبة بالعلاقة:

x = v0 t + ( ½ ) a t2



أي أنه :

x = x0 + v0 t + ( ½ ) a t2


أما المعادلة الثالثة للحركة فتشتق من كل من المعادلة الأولى والثانية بعد التخلص من الزمن في هاتين المعادلتين ، يكون الزمن



وبالتعويض عن الزمن t في المعادلة:



x = v0 t + ( ½ ) a t2



وبعد إعادة الترتيب فإنها تتخذ الصورة :



v2 = v02 + 2 a x



وهذه هي معادلة الحركة الثالثة .

وعندما تكون الازاحة الابتدائية x0 ≠ 0 فإنه تتخذ المعادلة v2 = v02 + 2 a x
الصورة :

v2 = v02 + 2 a ( x – x0 )

..// الخلاصة \\..

ويلاحظ أن أي معادلة من معادلات الحركة الثالثة تتضمن أربعة متغيرات من بين المتغيرات الخمسة للحركة ..

فالمعادلة الأولى لا تتضمن الإزاحة ..

والمعادلة الثانية لا تضمن السرعة النهائية للجسم

والمعادلة الثالثة لا تتضمن الزمن



وبالتالي تتمثل أي مسألة من مسائل الحركة في معرفة ثلاثة عناصر ( ثلاثة متغيرات ) ومعرفة المطلوب الرابع ( أي المتغير الرابع )

واختيار المعادلة التي تتضمن هذه المتغيرات الأربعة وتطبيقها لاستنباط المطلوب.




يعني بالعربي أنت عندك ثلاث معادلات وخمس متغيرات وكل معادله تتضمن مجهول متغير
شغل رياضيات ...!
وتكون ماشي في الحل السليم




تلميحات :
- إذا كان الجسم يبداء من السكون فإن ( سرعته الأبتدائية = صفر )
- إذا كان الجسم يبداء من X1 وينتهي في X2 يكون التغير في المسافة هو X2 - X1
- نفس الملاحظه في الأعلى للـ T اللي هو الزمن
- التسارع دائماً ثابت !


::: 4 :::

السقوط الحر ..!


يقصد بالسقوط الحر للجسم :

تحرك هذا الجسم بحرية تحت تأثير الجاذبية الأرضية دون النظر لحالته الحركية الابتدائية ..





فالجسم الذي يُـقذف رأسيا لأعلى أو لأسفل ، أو ذلك الذي يسقط سقوطا حرا من موضعه الابتدائي ، تعتبر جميعها خاضعة للسقوط الحر طالما لا تخضع هذه الأجسام لقوى أخرى سوى الجاذبية .



ومن البديهي أن هذا الجسم سيخضع دائما لتسارع الجاذبية الأرضية

g = 9.8 m /sec2 ) ) الذي يؤدي إلى جذب الأجسام دائما لأسفل وعند إهمال القوة الناتجة عن احتكاك الجسم بالهواء ، واعتبار أن تسارع الجاذبية لا يتغير بتغير الارتفاع عن سطح البحر ، فإنه يمكن اعتبار حركة السقوط الحر للجسم مكافئة تماما لحركته في اتجاه واحد تحت تأثير تسارع ثابت ، وبالتالي يمكن تطبيق نفس معادلات الحركة على الجسم الساقط سقوطا حرا مع استبدال المحور الأفقي x بمحور الحركة الرأسي ( المحور الصادي y )

تنبيه ..
حتى تتخلص من الأخطاء الناجمة عن الاختيار غير الصحيح للاتجاهات والتي تؤدي إلى حدوث التباس في إشارات حدود المعاملات ،
لذا ينبغي الالتزام بالقواعد الأساسية المعمول بها ، والتي تتلخص في الآتي :

1- أية إزاحة لأعلى تعتبر موجبة ( + y ) ، وأية إزاحة لأسفل تعتبر سالبة (- y )

لإيضاح ذلك :
مثلا ..
إذا تحرك جسم من نقطة بداية الحركة لأعلى 40 م يقال أنه حدثت له إزاحة
y = 40 m
وإذا تحرك لأسفل 20 م من نقطة البداية يقال أن الإزاحة y = - 20
وإذا تحرك جسم من نقطة البداية لأعلى 40 م ثم
هبط بعد ذلك 30 م تكون إزاحته :
y = 40 - 30 = 10 m
أما إذا تحرك لأعلى 40 م ،ثم هبط لأسفل 50 م
تكون إزاحته الصافية :
y = 40 - 50 = - 10 m

2- إذا كان الجسم متحركا لأعلى ( أي اتجاه لأعلى دون النظر لموضع الجسم بالنسبة لنقطة بداية الحركة ) عند نقطة ما ، فمعنى ذلك أن سرعته سواء الابتدائية أو النهاية عند هذه النقطة موجبة ، أما إذا كان اتجاه حركة الجسم لأسفل فمعنى ذلك أن سرعته سواء الابتدائية أو النهاية عند هذه النقطة سالبة.

3- حيث أن تسارع الجاذبية الأرضية يتجه – دائما – رأسيا لأسفل فإنه يكون دائما بالسالب ، أي أنه يجب استبدال a في معادلات الحركة بتسارع الجاذبية g

وبإتباع هذه القواعد تتخذ معادلات الحركة للسقوط الحر الصور التالية :
v = v0 – g t ( 1 )
y = v0 t – ½ g t2 ( 2 )
v2 = v02 - 2 g y ( 3 )

وعندما لا تنطبق نقطة بداية الحركة مع نقطة أصل المحور الرأسي ، أي عندما تكون هناك إزاحة ابتدائية y0 ، تبد الحركة منها تتخذ العلاقتان ( 3 ) و( ( 2 الصورة التالية :
y = y0 + v0 t – 1 g t2
v2 = v02 - 2 g ( y – y0 )

4 – عندما يصل الجسم المقذوف لأعلى نقطة ( أقصى ارتفاع له ) تكون سرعته عند هذه النقطة مساويا للصفر ، ويبدأ في الهبوط لأسفل ، أي يتغير اتجاه السرعة من الموجب إلى السالب بمجرد تغيير الجسم لاتجاه حركته .


ملخص لكل الكلام اللي فوق .. وللناس اللي تحب تفحظ !



معادلات الحركة في خط مستقيم kinematic equation in one dimension :

هناك ثلاث معادلات رئيسة تعرف بالميكانيكا باسم معادلات الحركة inematic equation

المعادلة الأولى :
v = v0 + a t

المعادلة الثانية :
x = v0 t + ( ½ ) a t2

المعادلة الثالثة :
v2 = v02 + 2 a x


احفظ الثلاث معادلات
واتبع الخطوات ذي
- طلع المتغيرات المعلومة على جنب
- شف اي معادله من الثلاث يجمعهم
- عوض عن قيمتهم واحصل على مجهولك
- إذا كان في المسالة ربط حركتين ..( عامل كل حركة على انها مستقله في البداية وبعدين أوجد الرابط وغالباً يكون الزمن أو نقطة النهائية ) وكمل حلك



--

السقوط الحر للأجسام Free falling of bodies :

يعرف بأنه:
تحرك الجسم بحرية تحت تأثير الجاذبية الأرضية(g = 9.8 ) دون النظر لحالته الحركية الابتدائية .


تتخذ معادلات الحركة للسقوط الحر الصور التالية :

المعادلة الأولى
v = v0 – g t
المعادلة الثانية
y = v0 t – ½ g t2
المعادلة الثالثة
v2 = v02 - 2 g y

احفظ الثلاث معادلات
واتبع الخطوات ذي
- طلع المتغيرات المعلومة على جنب
- شف اي معادله من الثلاث يجمعهم
- عوض عن قيمتهم واحصل على مجهولك
- إذا كان في المسالة ربط حركتين ..( عامل كل حركة على انها مستقله في البداية وبعدين أوجد الرابط وغالباً يكون الزمن أو نقطة النهائية ) وكمل حلك

وبث