|
أكـاديـمـي ألـمـاسـي
|
رد: ｡◕‿◕｡ مراجعة مادة مبادئ الرياضيات ｡◕‿◕｡
( كنت اطقق بنت ولقيت شرحه مبسط لل المتواليات حسابيه وتمارين للحسابيه والهندسيه
بس مالقيت شرح للهندسيه -_- وانا قاعده افهم حبه حبه لأن ماوصلت الفصل 6 اصلا توني بـ 1  )
الفصل السادس :
1\ متواليات حسابيه
2 متواليات هندسيه
عجبني شرحهم >> مابقى وقت واحساسي احساس لا تلعليق 
المتتالية الحسابية :
هي متتابعة Sequence ينتج كل حد منها عن إضافة مقدار ثابت للحد الذي يسبقه مثلاً 3 ، 7 ، 11 ، 15 ، ... الخ .
هي متتالية حسابية لأن الفرق بين كل حد فيها والذي يليه يساوي مقداراً ثابتاً هو 4 لاحظ مثلاً 3 + 4 = 7 ، 7 + 4 = 11 ، 11 + 4 = 15 ، ما هو الحد الخامس في هذه المتتالية ؟ نسمي العدد (4) أساس المتتالية ، أما العدد 3 فهو حدها الأول .
عناصر المتتالية الحسابية :
يمكن أن نحدد أي متوالية حسابية من حدها الأول وأساسها ، مثلاً متتالية حسابية حدها الأول 1 وأساسها 10 هي : 1 ، 11 ، 21 ، ... أكمل بنفسك حتى الحد السادس .
للاختصار سنرمز لأي حد في المتتاية بالرمز أ ( ويمكنك استخدام أي رمز آخر ) فمثلاً أ1 تعني الحد الأول ، أ2 تعني الحد الثاني ... أن تعني الحد الذي ترتيبه ن حيث ن = 1 ، 2 ، 3 ، ... الخ . أما أساس المتتالية فسنرمز له بالرمز د ( يمكنك استخدام أي رمز آخر ) .
متتالية حسابية 5 ، 12 ، 19 ، 26 ... الخ .
مثال (1) :
المطلوب أولاً : ما هو أ1 ؟
ثانياً : كم قيمة د ؟
ثالثاً : كم قيمة أ5 ؟
الحل :
أولاً :أ1( الحد الأول ) معطى = 5 .
ثانياً : الأساس د = أ2 ـ أ1 و أ3 ـ أ2 أو أ4 ـ أ3 .
= 12 ـ 5 = 7 .
ثالثاً : أ5 = أ4 + د
= 26 + 7 = 33 .
................
متتالية حسابية حدها الأول 5 وأساسها 4 ، المطلوب إيجاد :
مثال (2) :
أولاً : حدها الرابع . ثانياً : حدها السابع . ثالثاً : حدها الخمسون .
رابعاً : حدها النوني ( الحد العام) .
الحل :
....
أ7
أ6
أ5
أ4
أ3
أ2
أ1
المتتالية هي :
29
25
21
17
5 + 4 + 4 = 13
5 + 4 = 9
5
أولاً : إذن حدها الرابع = 5 + 4 + 4 + 4 = 17 .
ثانياً : حدها السابع ( أ7 ) = 29 .
ثالثاً : حدها الخمسون = لنلاحظ ما يلي أ1 = 5 ، أ2 = أ1 + د = 5 + 4 = 9 .
و أ3 = أ2 + د = ( 5 + 4 ) + 4 = 13 .
أ4 = أ3 + د = ( 5 + 4 + 4 ) + 4
= 5 + 4 + 4 + 4
= أ1 + د × 3
= أ1 + د ( 4 ـ 1 ) .
وعموماً يمكن أن نكتب أ2 = أ1 + د ( 2 ـ 1 ) = أ1 + د
أ3 = أ1 + د ( 3 ـ 1 ) = أ1 + 2د .
أ4 = أ1 + د ( 4 ـ 1 ) = أ1 + 3د .
إذن أ50 = أ1 + د ( 50 ـ 1 ) = 5 + 4 ( 50 ـ 1 )
= 5 + ( 4 × 49 )
= 5 + 196 = 201 .
رابعاً : الحد النوني = أ1 + د ( ن ـ 1)
أن = 5 + 4 ( ن ـ 1)
= 5 + 4ن ـ 4 = 1 + 4 ن في حالة مثالنا هذا .
لاحظ الحد الخمسون = 1 + ( 4 × 50 ) = 1 + 200 = 201 .
نسمي الحد النوني في أية متتالية حسابية باسم الحد العام ونستطيع الحصول عليه بسهولة من العلاقة
أن = أ1 + د ( ن ـ 1) .
الهندسيه مالقيت غير هذا :
http://ar.wikipedia.org/wiki/%D9%85%...B3%D9%8A%D8%A9
وهذي المعادلات : >>> ااي شي شاطح قولي عنه عشان نحذفه من الشرح 
وهذي المعادلآت :
إذا كونت س ، ص ، ع متوالية هندسية
وكونت : س ، س+ ص ، س + ع متوالية حسابية
إثبت أن : س : ص : ع = 1 : 2 : 4
ص^2 = س*ع
2*(س + ص) = س + (س + ع) ... ومنها : 2 ص = ع
ص^2 = س*(2 ص) ............. ومنها : ص = 2 س
إذن : ع = 4 س
ويكون : س : ص : ع = س : 2 س : 4 س = 1 : 2 : 4
,,,,,,,,,,,,,,,,
إذا كان أ ، ب ، جـ تكون متوالية عددية
وكان : أ ، س ، ص ، جـ تكون متوالية هندسية
إثبت أن : س^3 + ص^3 = 2 ب س ص
2 ب = أ + ج
س*ص = أ*ج
2 ب*س*ص = أ*ج (أ + ج) = ج*أ^2 + أ*ج^2
فى المتوالية الهندسية :
نفرض أن : س = أ*ر ، ص = أ*ر^2 ، ج = أ*ر^3
س^3 + ص^3 = أ^3 × ر^3 + أ^3 × ر^6
= [أ^2 × أ ر^3] + [أ × (أ ر^3 )^2] = ج*أ^2 + أ*ج^2
= 2 ب*س*ص
,,,,,,,,,,,,,,,,,,
إذا كانت الحدود الذي رتبتها 2 ، 6 ، 22 من متوالية عددية في توالي هندسي
إثبت أن الحدود الذي رتبتها : 3 ، 10 ، 38 من نفس المتوالية العددية
تكون في توالي هندسي أيضا ً
نفرض أن المتوالية العددية هى :
أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، .... ، (أ + (ن - 1)*د)
(أ + 5 د)^2 = (أ + د) (أ + 21 د)
ومنها : د = 3 أ
ح3 = (أ + 2 د) = 7 أ
ح10 = (أ + 9 د) = 28 أ
ح38 = (أ + 37 د) = 112 أ
ح10 / ح3 = 4
ح38 / ح10 = 4
إذن : ح3 ، ح10 ، ح38 فى توالى هندسى
,,,,,,,,,,,,,,,,
إذا كان جـ هو مجموع ن من الحدود في متوالية هندسية
و ص هو حاصل ضرب هذة الحدود
و م مجموع مقلوبات هذة الحدود
إثبت أن ( جـ / م )^ن = ص^2
ج = أ + أ*ر + أ*ر^2 + ... + أ*ر^(ن - 1) = أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)
ص = أ × أ ر × أ ر^2 × ... × أ ر^(ن - 1) = أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]
م = 1/أ + 1/أ ر + ... + 1/أ ر^(ن - 1) = 1/أ*[1 + 1/ر + ... + 1/ر^(ن - 1)
= 1/أ*[(1 - (1/ر)^ن)/(1 - 1/ر)] = [(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]
ص^2 = [أ^ن × ر^[ن(ن - 1)/2]^2 = أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1)]
(ج / م)^ن = [[أ*(ر^ن - 1)/(ر - 1)] ÷ [[(ر^ن - 1)/(أ*(ر - 1)*ر^(ن - 1))]]^ن
= أ^2ن × ر^(ن*(ن - 1))
...................
|