Frequency Curveالمنحنى التكراري
ولرسم المنحنى التكراري نتخذ نفس خطوات رسم المضلع التكراري باستثناء أننا نصل بين النقط بخط منحنى بدلا ً من خطوط مستقيمة , أي لو أننا مهدنا ( هذبنا ) المضلع التكراري بخط منحنى لحصلنا على ما يسمى بالمنحنى التكراري . وللمنحنى التكراري أهمية كبيرة في علم الإحصاء لتمثيل التوزيعات التكرارية بيانيا ً خصوصا ً عندما تكون البيانات كثيرة ومن النوع المتصل .
المنحنى لنفس البيانات في المثال السابق
-10
- 8
- 6
- 4
- 2
22 17 12 7
المنحنى الصاعد المنحنى النازل - 30
25
- 20
- 15
- 10
- 5
37 32 27 22 17 12 7
التكرارات التكرارات
9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1
الإيجابي السلبي
ثلاثي المنوال ثنائي المنوال
ب أ
المتوسط الحسابي وطرق حسابه:
ويعرف المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم بأنه عبارة عن مجموع جميع القيم مقسوما على عددها.
حيث إن:
م : ترمز الى المتوسط.
س: ترمز الى القيم.
ن : ترمز إلى عدد القيم.
ويمكن كتابة الوضع السابق بطرقة مختصرة وذلك باستخدام إشارة (المجموع) مج ( أي تكون قيمة المتوسط إذا رمزنا للمجموع بالرمز مج) كما يلي:
م=
مثال:
احسب متوسط الأعمار التالية: 28, 25, 24, 13, 18 , 12.
الحل:
م =
=
طرق حساب المتوسط:الطرق:
اولا:حساب المتوسط من القيم الخام مباشرة:
ويمكن حساب المتوسط من القيم الخام ( البيانات التي لم تصنف في فئات) بإحدى الطرق الاتية:
(1)حساب المتوسط للقيم باستخدام وسط فرضي:
وتستخدم هذه الطريقة عندما تكون قيم البيانات كبيرة مما تسبب صعوبة في حسابها, بالطريقة السابقة كما ورد في المثال ولتسهيل عملية حسب المتوسط في هذه الحالة نلجأ إلى استخدام طريقة الوسط الفرضي
نرمز للوسط الفرضي ( أ )
نرمز للانحراف ( ح )
أي أن المتوسط = +أ
إذن: م= + أ
احسب المتوسط للبيانات التالية:
2544, 2548, 2546, 2545،2542.
الحل بالطريقة العادية: مج س = 21725
عدد البيانات (ن) = 5
إذن م = 2545
أم بطريقة الوسط الفرضي فأننا نحتاج إلى وسطا فرضيا من هذه الأرقام وليكن 2540 فيكون:
ح1 = 2544 ـــ 2540 = 4
ح2 = 2548 ـــ 2540 = 8
ح3 = 2546 ـــ 2540 = 6
ح4 = 2542 ـــ 2540 = 2
ح5 = 2545 ـــ 2540 = 5
مج ح = 25
وبتطبيق المعادلة م = أ + م= + 2540 = 5+ 2540 = 2545
كما يمكن ان نستخدم فكرة الوسط الفرضي في هذه الحالة أيضا وتتلخص فيما يلي:
(أ) نختار وسطا فرضيا معينا
(ب) نجد انحرافات القيم عن الوسط الفرضي.
(ج) نضرب انحراف كل قيمة في التكرار المقابل لها.
(د) نجد المجموع الجبري الحاصل ضرب التكرار × الانحراف
(هـ) نطبق العلاقة:
م= أ +
حيث ح هي الانحراف عن الوسط الفرضي. والمثال التالي يوضح كلتا الحالتين.
مثال: احسب المتوسط الحسابي لدرجات سمة التسلط التي قيست لدى عينة مكونة من 20 طالبا جامعيا وكانت كما يلي:
:الحل بتطبيق المعادلة م =
وبتطبيق المعادلة:
م=
= 30 +
= 30 + 15ر0
= 15ر30 وهو نفس الجواب
.
مثال : احسب المتوسط في الجدول التكراري التالي :
م = = 61,5
لاحظ فرق الحل بين المثالين السابقين نشاهد أن الحسابات في مثال ( 2 ) أكثر تعقيدا ً منها في مثال ( 1 ) وذلك لأن مراكز الفئات كسرية , وكذلك لزيادة عدد التكرار , لذا فالطريقة التالية , وتسمى بالطريقة المختصرة , هي الأفضل في مثل حالة المثال السابق .
احسب المتوسط الحسابي بطريقة الانحراف الفرضي من المثال رقم ( 1 ) :
الحل : لنختار وسطا ً فرضيا ً وليكن مركز الفئة الثالثة ( 17 ) :
م = 17 +
= 17 نفس الجواب السابق .
احسب المتوسط بالطريقة المختصرة من الجدول التكراري التالي :
وبتطبيق المعادلة
الفئة الصفرية هي 15 – 19 ومركزها هو :
س = = 17
وطول الفئة = 5
إذن م = 17 + × 5
= 17 + صفر = 17
احسب المتوسط بالطريقة المختصرة من المثال السابق
-23
+31
م = 59,5 + × 10
= 59,5 + 2
= 61,5 وهو نفس الجواب السابق
خصائص المتوسط
هناك بعض الخصائص التي يجدر بالطالب معرفتها حول الوسط الحسابي ( المتوسط ) ومنها :
1- إذا أضفنا أو طرحنا مقدارا ثابتا ( ث ) من البيانات الأصلية فإن المتوسط الجديد يساوي المتوسط الأصلي للبيانات مضافا ً إليه أو مطروحا ً منه المقدار الثابت .
مثال رقم ( 3 )
احسب المتوسط للدرجات التالية :
254 , 258 , 251 , 257 , 255.
لاحظ بدلا من جمع الأرقام الفعلية مباشرة انك تستطيع أن تطرح مقدارا ً ثابتا ً وليكن 250 من كل رقم من الأرقام ينتج :
254 - 250 = 4
258 - 250 = 8
251 - 250 = 1
257 - 250 = 7
255 - 250 = 5
إذن القيم الجديدة = = = 5
هناك طرق عديدة لحساب المتوسط تعتمد على طبيعة البيانات وعددها وسنعرض فيما يلي بعضا من هذه