أي أن المتوسط الأصلي للبيانات هو :
م = 250 + 5 = 255
احسب متوسط القيم الفعلية ؟ كم يساوي ؟
2- ضرب أو قسمة البيانات ( الدرجات ) الأصلية في أو على مقدرا ثابت , فإن متوسط القيم الفعلية يساوي متوسط القيم الجديدة مقسوما ً على أو مضروبا ً في المقدار الثابت مع مراعاة أنه في حالة ضرب البيانات بمقدار ثابت نقسم المتوسط الجديد على نفس المقدار , أما في حالة القسمة على مقدار ثابت فنضرب المتوسط الجديد في المقدار نفسه لنحصل على المتوسط الفعلي للبيانات كما في المثالين التاليين :
مثال :
احسب متوسط البيانات التالية لأزمنة رد الفعل بالثواني في أحد الاختبارات : 0,2 ، 0,4 ، 0,6 ، 0,8، 0,1.
الحل :
نضرب كل قيمة في 10 فيكون لدينا : 10,8,6,4,2
ومتوسطها = = 6 وهو متوسط القيم الجديدة .
والمتوسط الفعلي للبيانات هو : = 0,6
مثال :
احسب المتوسط الحسابي للقيم التالية :
125 , 90 , 75 , 25 , 5 .
الحل :
لنقسم البيانات على 5 ينتج :
25 , 18 , 15 , 5 , 1 .
متوسط القيم الجديدة = = 12,8
إذن متوسط القيم الفعلية = 12,8 × 5 = 64 .
لاحظ أن فائدة كلا الخاصيتين الأولى والثانية هي لتسهيل العمليات الحسابية في حالة البيانات التي تعطى على هيئة كسور, وفي حالة الأرقام الكبيرة .
مميزات وعيوب المتوسط :
المميزات :
1- المتوسط هو أهم مقاييس النزعة المركزية إذ يأخذ بالاعتبار جميع القيم في البيانات . وبذا يكون ممثلا ً جيدا ً للبيانات .
2- يمكن حسابه بعدة طرق .
3- سهولة حسابه إذ يمكن حسابه بيسر وسهولة .
4- لا يتأثر المتوسط كثيرا ً عند إعادة إجراء التوزيع للفئات أي إذا غيرنا أطوال الفئات لمجموعة البيانات ووضعناها في توزيع جديد .
عيوب المتوسط :
1- يتأثر المتوسط كثيرا ً بالقيم المتطرفة فإذا كان لدينا مجموعة من البيانات تحوي رقما ً متطرفا ً أكبر بكثير أو أقل بكثير عن القيم الأصلية فإن المتوسط لا يمثل هذه المجموعة تمثيلا ً سليما ً , مثلا ً إذا كان لدينا الدرجات 20 , 25 , 15 , 95 فمتوسطها هو 34 وهو أكبر من أغلب درجات المجموعة , أو الأربعة الأولى منها هو 18,75 وهذا ما يجعل المتوسط هنا مقياسا ً مضللا ً .
مميزات وعيوب المتوسط :
2- يصعب حساب المتوسط في حالة الجداول التي تحتوي على فئات مفتوحة لا تعرف بدايتها أو نهايتها لصعوبة تحديد مراكزها .
3- لا يصلح المتوسط لتمثيل البيانات التي تتمركز في أحد طرفي التوزيع .
:Median الوسيط ( و)
لقد أشرنا في بداية هذا الفصل إلى أن الوسط المركزي الذي يمثل المجموعة يجب أن يكون دقيقا ً وموثوقا ً به , وعلمنا أيضا ً أن من عيوب المتوسط عدم صلاحيته لتمثيل البيانات في حالة الجداول التكرارية المفتوحة أي الجداول التي لاتعرف بدايتها أو نهايتها مما يصعب معه تحديد مركز الفئة فنضطر إذا كان لنا خيارا ً أن نعتبر الجدول التكراري مقفلا ً وأن فئته الأولى مساوية في الطول لبقية الفئات المفتوحة إن كانت تكراراتها قليلة لدرجة يمكن إهمالها إذ نحسب المتوسط في هذه الحالة على أساس الفئات المتبقية . ولكن في كلتا الحالتين يكون المتوسط المحسوب ذا قيمة تقريبية وليست دقيقة لذا نبحث عن مقياس آخر يعالج هذا العيب أو القصور في المتوسط , والمقياس البديل في هذه الحالة هو الوسيط .
والوسيط يعرف على أنه القيمة التي يصغرها 50% من البيانات ويكبرها 50% من البيانات . أي أنه القيمة التي تتوسط البيانات بعد ترتيبها . أو القيمة التي يسبقها عدد من الدرجات مساويا ً لعدد الدرجات التي تليها بشرط أن ترتب هذه البيانات ( الدرجات ) ترتيبا ً تصاعديا ً أو تنازليا ً , فإذا عرفنا قيمة الوسيط لمجموعة من الدرجات مثلا ً استطعنا أن نحكم بأن هناك 50% أفضل من درجة الوسيط و50% أقل مستوى من درجة الوسيط .
مثال :
احسب الوسيط للبيانات التالية :
12, 17 , 8 , 29 , 25 , 15 , 19 .
الحل :
نرتب البيانات : 8 , 12 , 15 , 17 , 19 , 25 , 29 .
رتبة و =
= = 4
إذن القيمة التي ترتيبها الرابعة هي الوسيط = 17
مثال :
احسب الوسيط للقيم التالية :
12 , 17 , 15 , 8 ,19 , 25 , 29 , 22 .
الترتيب :
8 , 12 , 15 , 17 , 19 , 22 , 25 , 29 .
رتبة و1 = = 4 قيمة و1 = 17 .
إذن قيمة و1 = 17
رتبة و2 = +1 = 4+1 = 5
إذن قيمة و2 = 19
إذن و = = 18
مثال رقم ( 21 ) :
احسب الوسيط من الجدول التكراري التالي الخاص بفئات درجات سمة الانبساطية لعينة مكونة من 40 فردا ً.
التكرار المتجمع الصاعد السابق لفئة و
1- وجدنا ك ص ( التكرار المتجمع الصاعد )
2- رتبة و عموما ً أو = = 20
إذن نجد أن فئة الوسيط هي 55 - 64
3- رتبة و في فئة الوسيط = 20 - 13 = 7
بما أن الوسيط = الحد الأدنى الحقيقي لفئة و + × طول الفئة
4- و = 54,5 + × 10 = 64,5
كما يمكن كتابة العلاقة بالصورة التالية :
و = أ + × ل
حيث أ = الحد الأدنى الحقيقي لفئة الوسيط .
وبتطبيقها نرى :
و = 54,5 + × 10
= 54,5 + × 10 = 64,5
مزايا وعيوب الوسيط :
مزايا الوسيط :
1- لا يتأثر الوسيط بالقيم المتطرفة من البيانات لذا يستخدم بدل المتوسط في مثل هذه الحالات .
2- لا تتأثر قيمة الوسيط كثيرا ً عند إعادة التوزيع التكراري .
3- يمكن استخدامه في حالة الجداول ذات الفئات المفتوحة لأنه لا يعتمد على مراكز الفئات .
عيوب الوسيط :
1- لا يأخذ في الاعتبار جميع البيانات بل يعتمد على جزء منها كما رأينا في طريقة حسابه .
2- تختلف قيم الوسيط من عينة إلى أخرى لنفس المجتمع بعكس المتوسط .
: Mode المنوال ( مل )
هو أقل مقاييس النزعة المركزية دقة لذا يستعمل هذا المقياس في حالة المقارنات السريعة التي لا تتطلب دقة , بل أن بعض الحالات لا يوجد لها منوال .
وبعرف المنوال لمجموعة من البيانات بأنه القيمة التي لها أكبر تكرار أو الخاصية الأكثر انتشارا ً أو شيوعا ً . فلو كان لدينا القيم التالية :
8 , 7 , 5 , 8 , 4 , 8 , 9 , 7
نجد أن المنوال هو 8 لأن القيمة 8 تكررت أكثر من أية قيمة أخرى . كما يمكن أن يكون لمجموعة من القيم أكثر من منوال واحد , فلو افترضنا أن لدينا مجموعة القيم التالية :
9 , 8 , 12 , 9 , 5 , 9 , 12 , 7 , 12 .
نرى أن كل من الرقم 9 والرقم 12 تكرر ثلاث مرات إذن في هذه الحالة لدينا منوالين هما 12,9 .. وهكذا ..
مزايا وعيوب المنوال :
مزايا المنوال :
1- يتميز المنوال بسهولة حسابه .
2- لا يتأثر بالقيم المتطرفة في البيانات .
عيوب المنوال :
1- لا يأخذ في الإعتبار جميع البيانات .
2- تتأثر قيمته عند إعادة التوزيع واستخدام فئات جديدة .
3- أقل مقاييس النزعة المركزية دقة .
4- قد لا نجد منوالا ً لبعض التوزيعات .
العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية :
هناك علاقة تجريبية تربط مقاييس النزعة المركزية في حالة التوزيعات التكرارية أحادية المنوال والبسيطة الالتواء والتوزيعات القريبة من التوزيع الطبيعي وهذه العلاقة هي :
المتوسط – المنوال = 3× ( المتوسط – الوسيط ) .
أي م – مل = 3 × ( م – و )
وهذه العلاقة تعتبر تقريبية , ولا يعتد بها في حالة التوزيعات التكرارية شديدة الالتواء , أما في التوزيع الطبيعي فنرى أن جميع هذه المقاييس تأخذ قيمة واحد كما يظهرها الشكل التالي :
مثال :
إذا علمت أن قيمة وسيط اختبار ما 75 منواله 70 فيما متوسطه ؟
الحل :
م – مل = 3 ( م – و )
م – 70 = 3م – 3 × 75
225 – 70 = 3م – م
155 = 2م .
م = 77,5
مثال : أعطي اختبار لثلاثة شعب في مادة التقويم التربوي وكانت نتائجه في الجدول أدناه , احسب المتوسط
المرجح لهذه الشعب.
مثال
درجات مجموعة من طلاب جامعة في اختبار الثقة بالنفس
20,19,15,16,17,18 المطلوب إيجاد نصف المدى الربيعي
الحل: الأمر يتطلب ترتيب قيم الدرجات: 20,19,18,17,16,15
لاحظ رتبة ر1 = = = 1,5وتقرب إلى 2 فتكون قيمة ر1 = 16
كما أن رتبة ر3 = × 3 = 1,5× 3 = 4,5 وتقرب إلى 5 أي ان قيمة ر3 = 19
بما أن المدى الربيعي = =
1- حساب الانحراف المعياري إذا تكررت الدرجات الخام :
إذا كان لدينا درجات س1 ، س2 ، س3 ، ..... س ن لكل منها تكرارك 1 ، ك2 ، ك3 ، ..... ك ن .
فإن الانحراف المعياري يحسب من قوانين يمكن أن تأخذ أشكالاً شبيهة بالتالي عرضناها مع مراعاة التكرار . والقوانين في هذه الحالة هي :
مثال رقم (1) :
تابع حل المثال :
مميزات الانحراف المعياري :
1- أكثر مقاييس التشتت ثباتاً .
2- يستخدم عادةً في البحوث النفسية والتربوية بكثرة .
3- إذا كان الربيعات المئينيات تستخدم في توضيح التشتت عندما يعتمد على الوسيط كمقياس للنزعة المركزية ، فإن الانحراف المعياري يستخدم لتوضيح التشتت عندما يعتمد المتوسط كمقياس للنزعة المركزية .
ملاحظة (1) / إذا كانت البيانات المعطاة موزعة توزيعاً طبيعياً أو على شكل جرسي فإن :
68.27% من المساحة أسفل المنحني تقع بين م-2ع ، م+2ع ، كذلك :
95.45% من المساحة أسفل المنحني تقع بين م-2ع ، م+2ع ، كذلك :
99.73% من المساحة أسفل المنحني تقع بين م-3ع ، م+3ع
التباين :
يعرف التباين بأنه القيمة التي نحصل عليها قبل استخراج الجذر التربيعي لحساب الانحراف المعياري ، ويعرفه البعض أنه مربع الانحراف المعياري ، وحيئذ يكون رمزه ع2 .
ولذلك لو حذفنا الجذر التربيعي من جميع قوانين الانحراف المعياري لحصلنا على التباين ، مع مراعاة تربيع قيمة ل الموجودة قبل الجذر في القانون المعد لحالة الفئات .
والتباين من أهم مقاييس التشتت لاعتماده المباشر على الانحراف المعياري .
ويصلح لقياس الفروق الجماعية بين الأنواع المختلفة للتوزيعات كما في حالة حساب الفروق بين مستويات تحصيل التلاميذ والتلميذات أو بين أكثر من مجموعتين .
مثال /
على هذا يلاحظ أن البيانات الخاصة بالوزن أكثر تشتتاً من البيانات الخاصة بالعمر وأقل البيانات تشتتً هي درجات التحصيل .
معامل الالتواء :
إذا لم يكن التوزيع للبيانات المعطاة اعتدالياً فإنه لا يجب الاكتفاء عند وصف هذا التوزيع بالمتوسط (م) والانحراف المعياري (ع) ، ويجب الاعتماد على أو توفير مقياس آخر يعبر عن مدى ابتعاد التوزيع عن الاعتدالية أي درجة التوائه .
وأبسط الطرق لحساب الالتواء يعتمد على القانون التالي :
مثال : إذا كان متوسط درجات ذكاء مجموعة من الأطفال 95,38 والوسيط 90,18 بانحراف معياري 19,52 احسب معامل الالتواء .
والدرجة الجديدة يطلق عليها الدرجة المعيارية ، وتعرف بأنها انحراف درجة المفحوص عن المتوسط بالنسبة للانحراف المعياري .
حيث :
ز : الدرجة المعيارية .
م : متوسط درجات المجموعة .
ع : الانحراف المعياري لدرجات المجموعة .
س : درجة مفحوص ( درجة خام ) .