أ) الدالة الأسية

هي أي دالة من النوع :



حيث أن a عدد موجب قطعا و يسمى الأساس
و حيث أن x عدد حقيقي و يسمى الأس


إذا كان الأساس a أقل من واحد فالدالة تناقصية
إذا كان الأساس a أكبر من واحد فالدالة تزايدية
إذا كان الأساس a يساوي واحد فالدالة عبارة عن خط مستقيم موازي للمحور x


يكون رسم الدالة بهذا الشكل



عندما يكون الأساس أكبر قطعا من الواحد

تكاد تكون الدالة الأسية أفقية عند القيم السلبية للأس
و تساوي 1 عندما تساوي قيمة الأس x الصفر
ثم تتزايد بسرعة في القيم الإيجابية للأس



ب) الدالة اللوغاريتمية

// تذكير باللوغاريتم :

فكرة اللوغاريتم هي العملية العكسية للرفع (رفع رقم لأس) .
على سبيل المثال رفع الرقم 2 للأس 3 هو 8 ، لأن الـ 8 تنتج عن ضرب 2 بنفسها 3 مرات أي :

وبالتالي تكون العملية العكسية للرفع هي :

لوغاريتم الـ 8 بالنسبة للأساس 2 هي 3 أي :
log2 8 = 3.


الدالة اللوغاريتمية تكتب بهذا الشكل (مع ملاحظة أن اتجاه القراءة يظهر أن الطرفين معكوسين) :
Y هي لوغاريتم X للأساس b و إذا لم يكتب فالأساس 10 .


و للتذكير أيضاً فإن اللوغاريتمات تنقسم إلى نوعين :

• لوغريتمات عادية (عشرية) ، تستخدم العدد 10 كأساس ، و علامتها في الآلة الحاسبة log ، و تكتب بهذه الصيغ أو أو

• لوغريتمات طبيعة، بحيث تستخدم الرقم 2.72 في هذه العملية كأساس و هو ما يسمى بالعدد النيبيري e ، و علامتها في الآلة الحاسبة هي ln ، و يرمز لها أيضاً بـ Log (( عدم الخلط مع log والتي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري))

انتهى التذكير //


الدالة اللوغاريتمية ممكن تأخذ أشكال هكذا :

قوانين اللوغاريتمات (العمليات الجبرية)

إذا كان كل من X , Y , b أعداد حقيقية موجبة ، وكان أساس اللوغاريتم b <> 1 فإن :

1) لوغاريتم ضرب عددين x.y هو حاصل جمع لوغاريتم كل واحد منهما على حدة :



مثال :


حللنا المقدار 243 إلى 9 * 27
ثم استخرجنا لوغاريتم كل واحد منهما على حدة
ثم جمعنا ناتج لوغاريتم كل واحد منها = 5



2 ) لوغاريتم قسمة عددين هو حاصل طرح لوغاريتم كل واحد منها على حدة :



مثال :




3) لوغاريتم مقدار مرفوع للأس p هو حاصل ضرب هذا الأس في لوغاريتم المقدار بدون أس (يعني نشيل الأس p و نطلعه برا الحسبة و بعدين نضربه بناتج اللوغاريتم) :



مثال :





4) لوغاريتم مقدار مرفوع للأس x و لكن أساس اللوغاريتم مطابق للمقدار ، فإن الناتج هو x





5) لوغاريتم العدد 1 للأساس b هو صفر



لأن أي عدد مرفوع للأس صفر الناتج هو 1


تذكر أن اللوغاريتم هو عكس عملية الرفع للقوة (للأس)


6) لوغاريتم العدد b للأساس b هو 1



لأن أي عدد مرفوع للأس 1 هو نفس العدد



تذكر أن اللوغاريتم هو عكس عملية الرفع للقوة (للأس)



يتبع بإذن الله .... الدوال المثلثية

ج) الدوال المثلثية


قبل أن نتحدث عن جيب و جتا و sin و cos نلقى نظرة على أصل الموضوع و هو التفسير الهندسي لهذه الدوال المثلثية .

أصل الموضوع هو المثلث قائم الزاوية .




فإذا كان لدينا مثلثين و كلاهما قائم الزاوية (يعني 90 درجة)
فإن كانت هناك زاوية أخرى بين المثلثين متطابقة ، فإن المثلثين متشابهين بالشكل (وليس متساويين بالحجم) .

ينتج عن هذا التشابه أن نسبة أضلاع المثلث متساوية بين المثلثين .


أي أن نسبة الضلع a "والذي يسمى المقابل" على الضلع c "والذي يسمى الوتر" هي نفس النسبة بين المقابل و الوتر في المثلث الآخر .


هل وضحت فكرة نسبة طول المقابل على طول الوتر ؟

إذا قم بعمل حفظ باسم sin


ولو نظرنا إلى نسبة الضلع المجاور "المحاذي" إلى الضلع الوتر فإنها قطعا ستكون نفس النسبة بين المثلثين لأننا افترضنا أن المثلث قائم الزاوية و أن هناك زاوية أخرى متطابقة بين المثلثين .

هل وضحت فكرة نسبة طول المجاور على طول الوتر ؟


إذا قم بعمل حفظ باسم cos



طيب يا حررررررررررررام

باقي نسبة الضلع المقابل على الضلع المجاور ؟

ولا يهمك :

قم بعمل حفظ باسم tan



عرفنا الآن أن جيب sin و جتا cos و ظل tan ما هن إلا نسب لأضلاع المثلث



يتبع بإذن الله ...

بعد أن عرفنا :

أن sin ما هي إلا نسبة المقابل على الوتر
و أن cos ما هي إلا نسبة المجاور على الوتر
و أن tan ما هي إلا نسبة المقابل على المجاور

و ممكن أن نستنتج أيضاً بالعمليات الجبرية أن tan هي نسبة sin على cos





و الآن نذكر بعض الخصائص للمثلث قائم الزاوية ، و هي :

أطول أضلاع المثلث القائم يعرف بوتر المثلث القائم ، الوتر يقابل الزاوية القائمة دائماً.
في المثلث ABC القائم في C : مجموع قياس الزاويتين A,B يساوي 90°، أي أن A,B زاويتان متتامتان.
في المثلث ABC القائم في C : مجموع مربع الضلعين a,b ( المقابل و المجاور ) يساوي مربع الوتر c :





دوال مستنبطة من الدوال الأساسية sin , cos :

sec هي مقلوب cos
csc هي مقلوب sin
cot هي مقلوب tan






يتبع بإذن الله ...

د) الدوال النسبية (و تسمى الدالة الكسرية)


هي دالة يمكن كتابتها في صورة نسبة بين دالتين كثيرتي الحدود .
لا يشترط أن تكون معاملات كثيرتي الحدود و لا قيم الدالة كسورا ولكن يشترط أن لا يكون المقام = صفراً

و تكتب بهذه الصياغة :

حيث Q و P كثيرتا حدود.




هـ) الدوال الصريحة

وهي الدالة التي يكون المتغير المستقل في طرف و المتغير التابع في طرف آخر ،مثل :


و) الدوال الضمنية

وهي الدالة التي يكون فيها المتغير المستقل و التابع في طرف واحد ، مثل :


ز) الدوال الزوجية

تكون الدالة زوجية إذا تحقق (f(- x)= f(x لكل قيم x


أي أن قيمة (y = f(x لا تتغير عند وضع x - بدلاً من x

** و هذه تصلح إذا كان الأس زوجي حيث أنه سيتخلص من الإشارة السالبة .



ح) الدوال الفردية

تكون الدالة فردية إذا تحقق (f(- x)= -f(x لكل قيم x




و توفيراً لخلايا المخ من الإجهاد ..... خذها من الآخر .... بقلم الدكتور جيكل :






يتبع بإذن الله ..... التطبيقات الاقتصادية